Kvaziregulární prvek - Quasiregular element

Tento článek se zabývá pojmem quasiregularity v kontextu teorie prstenů, pobočka moderní algebra. Pro další představy o kvaziregularitě v matematika, viz disambiguation page quasiregular.

v matematika konkrétně teorie prstenů, pojem kvaziregularita poskytuje výpočetně pohodlný způsob práce s Jacobson radikální prstenu.^[1] Intuitivně, kvaziregularita zachycuje, co to znamená, že prvek prstenu je „špatný“; to znamená, že mají nežádoucí vlastnosti.^[2] Ačkoli je „špatný prvek“ nutně kvaziregulární, kvaziregulární prvky nemusí být „špatné“, a to v poněkud neurčitém smyslu. V tomto článku se věnujeme především pojmu kvaziregularita pro unital kroužky. Jedna část je však věnována teorii kvaziregularity v neunitálních prstencích, která představuje důležitý aspekt teorie nekomutativních prstenů.

Definice

Nechat R být prsten (s jednota ) a nechte r být prvkem R. Pak r se říká, že je quasiregular, pokud 1 -r je jednotka v R; to znamená invertible under multiplication.^[1] Pojmy pravá nebo levá kvaziregularita odpovídají situacím, kdy 1 -r má pravou nebo levou inverzní funkci.^[1]

Prvek X neunitálního prstenu se říká, že je vpravo kvazikulár Pokud existuje y takhle ${displaystyle x + y-xy = 0}$.^[3] Pojem a vlevo kvazikulár prvek je definován analogickým způsobem. Prvek y se někdy označuje jako a správně kvazi-inverzní z X.^[4] Pokud je prsten unital, shoduje se tato definice kvaziregularity s výše uvedenou definicí.^[5] Pokud někdo píše ${displaystyle xcdot y = x + y-xy}$, pak tato binární operace ${displaystyle cdot}$ je asociativní.^[6] Ve skutečnosti mapa ${displaystyle (R, cdot) o (R, imes); xmapsto 1-x}$ (kde × označuje násobení prstenu R) je monoidní izomorfismus.^[5] Pokud má tedy prvek levou i pravou kvaziinverzi, jsou si rovny.^[7]

Někteří autoři používají různé definice. Říkají prvek X pravý kvaziregulační, pokud existuje y takhle ${displaystyle x + y + xy = 0}$,^[8] což odpovídá tvrzení, že 1 +X má pravý inverzní, když je prsten unital. Pokud píšeme ${displaystyle xcirc y = x + y + xy}$, pak ${displaystyle (-x) circ (-y) = - (xcdot y)}$, takže můžeme snadno přejít z jednoho nastavení do druhého změnou značek.^[9] Například, X má pravdu quasiregular v jednom nastavení iff -X je správně kvaziregulační v druhém nastavení.^[9]

Příklady

• Li R je prsten, pak aditivní identita R je vždy quasiregular.
• Li ${displaystyle x ^ {2}}$ je tedy pravý (resp. levý) kvaziregulární ${displaystyle x}$ je pravý (resp. levý) kvaziregulační.^[10]
• Li R je rng, každý nilpotentní prvek z R je quasiregular.^[11] Tuto skutečnost podporuje základní výpočet:

Li ${displaystyle x ^ {n + 1} = 0}$, pak

${displaystyle (1-x) (1 + x + x ^ {2} + dotsb + x ^ {n}) = 1}$ (nebo ${displaystyle (1 + x) (1-x + x ^ {2} -dotsb + (- x) ^ {n}) = 1}$ pokud se budeme řídit druhou konvencí).

Z toho snadno vidíme, že kvazi inverzní X je ${displaystyle -x-x ^ {2} -dotsb -x ^ {n}}$ (nebo ${displaystyle -x + x ^ {2} -dotsb + (- x) ^ {n}}$).

• Ve druhé konvenci je matice v a maticový prsten pokud nemá -1 jako vlastní číslo. Obecněji, a ohraničený operátor je kvaziregulární, pokud -1 není ve svém spektru.
• V jednotné Banachově algebře, pokud ${displaystyle | x | <1}$, pak geometrická řada ${displaystyle sum _ {0} ^ {infty} x ^ {n}}$ konverguje. V důsledku toho každý takový X je quasiregular.
• Li R je prsten a S = R[[X₁, ..., X_n]] označuje kruh formální mocenské řady v n indeterminants over R, prvek S is quasiregular if and only its constant term is quasiregular as a element of R.

Vlastnosti

• Každý prvek Jacobson radikální (ne nutně komutativního) kruhu je kvaziregulační.^[12] Jacobsonův radikál prstenu lze ve skutečnosti charakterizovat jako jedinečný pravý ideál prstenu, maximální s ohledem na vlastnost, že každý prvek je správný kvaziregulant.^[13][14] Pravý kvaziregulační prvek však nemusí být nutně členem Jacobsonova radikálu.^[15] To ospravedlňuje poznámku na začátku článku - „špatné prvky“ jsou kvaziregulární, ačkoli kvaziregulární prvky nejsou nutně „špatné“. Prvky Jacobsonova radikálu prstenu jsou často považovány za „špatné“.
• Pokud je prvek prstenu nilpotentní a centrální, pak je členem Jacobsonova radikálu prstenu.^[16] Je to proto, že hlavní pravý ideál generované tímto prvkem se skládá pouze z kvaziregulárních (ve skutečnosti nilpotentních) prvků.
• Pokud prvek, r, kruhu je idempotentní, nemůže to být člen Jacobsonova radikálu prstenu.^[17] Je to proto, že idempotentní prvky nemohou být kvaziregulární. Tato vlastnost, stejně jako výše uvedená, ospravedlňuje poznámku uvedenou v horní části článku, že pojem quasiregularity je výpočetně vhodný při práci s Jacobsonovým radikálem.^[1]

Zobecnění na semirings

Pojem kvaziregulárního prvku lze snadno zobecnit na semirings. Li A je prvek semiring S, pak afinní mapa z S sama o sobě je ${displaystyle mu _ {a} (r) = ra + 1}$. Prvek A z S se říká, že je vpravo kvazikulár -li ${displaystyle mu _ {a}}$ má pevný bod, které nemusí být jedinečné. Každý takový pevný bod se nazývá a vlevo kvazi-inverzní z A. Li b je levá kvazi inverze A a navíc b = ab + 1 tedy b jmenuje se a kvazi inverzní z A; o jakémkoli prvku semiring, který má kvazi-inverzi, se říká, že je quasiregular. Je možné, že některé, ale ne všechny prvky semiringu, budou kvaziregulární; například při semirování záporných realit s obvyklým sčítáním a multiplikací real, ${displaystyle mu _ {a}}$ má pevný bod ${displaystyle {frac {1} {1-a}}}$ pro všechny A <1, ale nemá pevný bod pro A ≥ 1.^[18] Pokud je každý prvek semiringu kvaziregulární, pak se semiring nazývá a kvazi pravidelný semiring, uzavřený semiring,^[19] nebo příležitostně Lehmann semiring^[18] (druhý na počest článku Daniela J. Lehmanna.^[20])

Příklady kvazi-pravidelných semirings poskytuje Kleene algebry (prominentně mezi nimi algebra regulární výrazy ), ve kterém je kvazi-inverze pozvednuta na roli unární operace (označeno A*) definováno jako řešení s nejméně pevným bodem. Kleene algebry jsou aditivně idempotentní, ale ne všechny kvazi-pravidelné semirings jsou tak. Můžeme rozšířit příklad záporných realit tak, aby zahrnoval nekonečno a stane se kvazi-pravidelným semirováním s kvazi-inverzí kteréhokoli prvku A ≥ 1 je nekonečno. Tento kvazi-pravidelný semiring však není adempotivně idempotentní, takže nejde o Kleeneovu algebru.^[19] Je to však a kompletní semiring.^[21] Obecněji jsou všechny úplné semirings quasiregular.^[22] Termín uzavřený semiring je některými autory ve skutečnosti používán spíše k označení úplného semirování než jen kvaziregula.^[23][24]

Semirings Conway jsou také kvaziregulární; dva Conwayovy axiomy jsou ve skutečnosti nezávislé, tj. existují semirings splňující pouze axiom produktu [Conway], (ab)* = 1+A(ba)*b, ale ne axiom součtu hvězd, (A+b)* = (A*b)*A* a naopak; je to axiom produktu [Conway], který naznačuje, že semiring je kvaziregulární. Navíc, a komutativní semiring je kvaziregulační právě tehdy, pokud splňuje axiom věty o produktu Conway.^[18]

Kvasiregulární semirings se objeví v problémy algebraické cesty, zobecnění nejkratší cesta problém.^[19]

Viz také

• inverzní prvek

Poznámky

Reference

• I. Martin Isaacs (1993). Algebra, postgraduální kurz (1. vyd.). Nakladatelství Brooks / Cole. ISBN  0-534-19002-2.
• Irving Kaplansky (1969). Pole a prsteny. University of Chicago Press.
• Lam, Tsit-Yuen (2003). Cvičení z teorie klasického prstenu. Problémové knihy z matematiky (2. vydání). Springer-Verlag. ISBN  978-0387005003.
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). Úvod do skupinových kruhů. Springer. ISBN  978-1-4020-0238-0.