Kvantový depolarizační kanál - Quantum depolarizing channel

A kvantový depolarizační kanál je model pro kvantový šum v kvantových systémech. The ${ displaystyle d}$-dimenzionální depolarizující kanál lze zobrazit jako a zcela pozitivní mapa zachovávající stopy ${ displaystyle Delta _ { lambda}}$, v závislosti na jednom parametru ${ displaystyle lambda}$, který mapuje stav ${ displaystyle rho}$ na lineární kombinaci sebe a maximálně smíšený stav,

${ displaystyle Delta _ { lambda} ( rho) = lambda rho + { frac {1- lambda} {d}} já}$.

Podmínka úplné pozitivity vyžaduje ${ displaystyle lambda}$ uspokojit hranice

${ displaystyle - { frac {1} {d ^ {2} -1}} leq lambda leq 1}$.

Kanál Qubit

Singl qubit depolarizační kanál má zastoupení operátor-součet^[1] na matice hustoty ${ displaystyle rho}$ dána

${ displaystyle Delta _ { lambda} ( rho) = součet _ {i = 0} ^ {3} K_ {i} rho K_ {i} ^ { dagger},}$

kde ${ displaystyle K_ {i}}$ jsou Operátoři Kraus dána

${ displaystyle K_ {0} = { sqrt {1 - { frac {3 lambda} {4}}}} I, K_ {1} = { sqrt { frac { lambda} {4}}} X, K_ {2} = { sqrt { frac { lambda} {4}}} Y, K_ {3} = { sqrt { frac { lambda} {4}}} Z}$

a ${ displaystyle {I, X, Y, Z }}$ jsou Pauliho matice. The zachování stopy podmínka je splněna skutečností, že ${ displaystyle sum _ {i} K_ {i} ^ { dagger} K_ {i} = já.}$

Geometricky depolarizující kanál ${ displaystyle Delta _ { lambda}}$ lze interpretovat jako jednotnou kontrakci Bloch koule, parametrizováno pomocí ${ displaystyle lambda}$. V případě, že ${ displaystyle lambda = 0}$ kanál vrací maximálně smíšený stav pro jakýkoli stav vstupu ${ displaystyle rho}$, což odpovídá úplné kontrakci Blochovy koule až k jednomu bodu ${ displaystyle { frac {I} {2}}}$ dané původem.

Klasická kapacita

The Věta HSW uvádí, že klasická kapacita kvantového kanálu ${ displaystyle Psi}$ lze charakterizovat jako jeho legalizovaný Informace o společnosti Holevo:

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {1} {n}} chi left ( Psi ^ { otimes n} right)}$

Toto množství je obtížné vypočítat, což odráží naši nevědomost o kvantových kanálech. Pokud jsou však informace Holevo pro kanál aditivní ${ displaystyle Psi}$, tj.,

${ displaystyle chi left ( Psi otimes Psi right) = chi left ( Psi right) + chi left ( Psi right)}$

Pak můžeme získat jeho klasickou kapacitu výpočtem informací o Holevu kanálu.

Aditivita informací Holevo pro všechny kanály byla slavnou otevřenou domněnkou v teorii kvantové informace, ale nyní je známo, že tato domněnka obecně neplatí. To bylo prokázáno prokázáním, že aditivnost minimální výstupní entropie pro všechny kanály nedrží,^[2] což je ekvivalentní domněnka.

Ukázalo se však, že aditivita informací o Holevu platí pro kanál kvantové depolarizace,^[3] a níže je uveden obrys důkazu. V důsledku toho nemůže zapletení napříč více způsoby použití kanálu zvýšit klasickou kapacitu. V tomto smyslu se kanál chová jako klasický kanál. K dosažení optimální rychlosti komunikace stačí zvolit ortonormální základ pro zakódování zprávy a provádět měření, která promítají na stejný základ na přijímajícím konci.

Nástin důkazu o aditivitě informací o Holevu

Aditivnost informací o Holevu pro depolarizační kanál prokázal Christopher King.^[3] Ukázal, že maximální výkon p-norm depolarizačního kanálu je multiplikativní, což znamená aditivitu minimální výstupní entropie, která je ekvivalentní aditivitě informací Holevo.

U depolarizačního kanálu je zobrazena silnější verze aditivity informací o Holevu ${ displaystyle Delta _ { lambda}}$. Pro jakýkoli kanál ${ displaystyle Psi}$:

${ displaystyle chi left ( Delta _ { lambda} otimes Psi right) = chi left ( Delta _ { lambda} right) + chi left ( Psi right)}$

To vyplývá z následující multiplikativity maximální výstupní p-normy (označované jako ${ displaystyle v_ {p}}$):

${ displaystyle v_ {p} left ( Delta _ { lambda} otimes Psi right) = v_ {p} left ( Delta _ { lambda} right) v_ {p} left ( Psi right)}$

Čím větší nebo rovný směru výše uvedeného je triviální, stačí vzít tenzorový součin stavy, které dosahují maximální p-normu pro ${ displaystyle Delta _ { lambda}}$ a ${ displaystyle Psi}$ respektive a zadejte stav produktu do kanálu produktu, abyste získali výstupní p-normu ${ displaystyle v_ {p} ( Delta _ { lambda}) v_ {p} ( Psi)}$. Důkaz pro druhý směr je více zapojen

Hlavní myšlenkou důkazu je přepsat depolarizující kanál na a konvexní kombinace jednodušších kanálů a pomocí vlastností těchto jednodušších kanálů získáte multiplikativitu maximální výstupní p-normy pro depolarizující kanál.

Ukázalo se, že můžeme depolarizační kanál napsat následovně:

${ displaystyle Delta _ { lambda} ( rho) = součet _ {n = 1} ^ {2d ^ {2} (d + 1)} c_ {n} U_ {n} ^ {*} Phi _ { lambda} ^ {(n)} ( rho) Un}$

kde ${ displaystyle c_ {n}}$jsou kladná čísla, ${ displaystyle U_ {n}}$jsou jednotkové matice, ${ displaystyle Phi _ { lambda} ^ {(n)}}$některé jsou dešifrovací kanály a ${ displaystyle rho}$ je libovolný stav vstupu.

Produktový kanál lze tedy zapsat jako:

${ displaystyle left ( Delta _ { lambda} otimes Psi right) ( rho) = součet _ {n = 1} ^ {2d ^ {2} (d + 1)} c_ {n} left (U_ {n} ^ {*} otimes I right) left ( Phi _ { lambda} ^ {(n)} otimes Psi right) ( rho) left (U_ {n } mnohokrát I right)}$

Konvexitou a jednotnou invariantností p-normy stačí ukázat jednodušší mez:

${ displaystyle | left ( Phi _ { lambda} ^ {(n)} otimes Psi right) ( rho) | _ {p} leq v_ {p} ( Delta _ { lambda}) v_ {p} ( Psi)}$

Jedním z důležitých matematických nástrojů použitých při dokazování této vazby je Lieb – toužící nerovnost, který poskytuje hranici pro p-normu produktu pozitivních matic. Podrobnosti a výpočty důkazu jsou přeskočeny, čtenáři se zájmem odkazují na výše zmíněnou práci C. Kinga.

Diskuse

Hlavní technikou použitou v tomto důkazu, a to přepsáním sledovaného kanálu jako konvexní kombinace jiných jednodušších kanálů, je zobecnění dříve použité metody k prokázání podobných výsledků pro unital qubit kanály.^[4]

Skutečnost, že klasická kapacita depolarizačního kanálu se rovná Holevovým informacím kanálu, znamená, že nemůžeme skutečně použít kvantové efekty, jako je zapletení, ke zlepšení přenosové rychlosti klasických informací. V tomto smyslu lze depolarizační kanál považovat za klasický kanál.

Skutečnost, že aditivita informací o Holevu obecně neplatí, však navrhuje některé oblasti budoucí práce, konkrétně hledání kanálů, které tuto aditivitu porušují, jinými slovy kanály, které mohou využívat kvantové efekty ke zlepšení klasické kapacity nad rámec svých informací o Holevu.

Poznámky

Reference

• King, C. (14. ledna 2003), „Kapacita kanálu kvantové depolarizace“, Transakce IEEE na teorii informací, 49 (1): 221–229, arXiv:quant-ph / 0204172v2, doi:10.1109 / TIT.2002.806153
• Hastings, M. B. (15. března 2009), „Superadditivita komunikační kapacity pomocí zapletených vstupů“, Fyzika přírody, 5 (4): 255–257, arXiv:0809,3972v4, Bibcode:2009NatPh ... 5..255H, doi:10.1038 / nphys1224
• Wilde, Mark M. (2017), Teorie kvantové informace, Cambridge University Press, arXiv:1106.1445, Bibcode:2011arXiv1106.1445W, doi:10.1017/9781316809976.001