Odhad Prais – Winsten - Prais–Winsten estimation

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopad 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v ekonometrie, Odhad Prais – Winsten je postup určený k péči o sériová korelace typu AR (1) v lineární model. Koncipováno Sigbert Prais a Christopher Winsten v roce 1954,^[1] je to modifikace Cochrane – Orcuttův odhad v tom smyslu, že neztrácí první pozorování, což vede k dalším účinnost jako výsledek a dělá to zvláštní případ proveditelné zobecněné nejmenší čtverce.^[2]

Teorie

Zvažte model

${ displaystyle y_ {t} = alpha + X_ {t} beta + varepsilon _ {t}, ,}$

kde ${ displaystyle y_ {t}}$ je časové řady zájmu v čase t, ${ displaystyle beta}$ je vektor koeficientů, ${ displaystyle X_ {t}}$ je matice vysvětlující proměnné, a ${ displaystyle varepsilon _ {t}}$ je chybový termín. Chybný termín může být sériově korelovaný přesčas: ${ displaystyle varepsilon _ {t} = rho varepsilon _ {t-1} + e_ {t}, | rho | <1}$ a ${ displaystyle e_ {t}}$ je bílý šum. Kromě transformace Cochrane-Orcutt, což je

${ displaystyle y_ {t} - rho y_ {t-1} = alpha (1- rho) + beta (X_ {t} - rho X_ {t-1}) + e_ {t}, ,}$

pro t = 2,3,...,T, postup Prais-Winsten umožňuje rozumnou transformaci t = 1 v následující podobě:

${ displaystyle { sqrt {1- rho ^ {2}}} y_ {1} = alpha { sqrt {1- rho ^ {2}}} + vlevo ({ sqrt {1- rho ^ {2}}} X_ {1} vpravo) beta + { sqrt {1- rho ^ {2}}} varepsilon _ {1}. ,}$

Pak obvyklé nejmenší čtverce odhad je hotový.

Postup odhadu

Chcete-li provést odhad kompaktním způsobem, musíte se podívat na autokovarianční funkci chybového výrazu uvažovaného v modelu:

${ displaystyle mathrm {cov} ( varepsilon _ {t}, varepsilon _ {t + h}) = { frac { rho ^ {h}} {1- rho ^ {2}}}, { text {for}} h = 0, pm 1, pm 2, dots ,.}$

Je snadné vidět, že variance – kovarianční matice, ${ displaystyle mathbf { Omega}}$, modelu je

${ displaystyle mathbf { Omega} = { begin {bmatrix} { frac {1} {1- rho ^ {2}}} & { frac { rho} {1- rho ^ {2} }} & { frac { rho ^ {2}} {1- rho ^ {2}}} & cdots & { frac { rho ^ {T-1}} {1- rho ^ {2 }}} [8pt] { frac { rho} {1- rho ^ {2}}} & { frac {1} {1- rho ^ {2}}} & { frac { rho} {1- rho ^ {2}}} & cdots & { frac { rho ^ {T-2}} {1- rho ^ {2}}} [8pt] { frac { rho ^ {2}} {1- rho ^ {2}}} & { frac { rho} {1- rho ^ {2}}} & { frac {1} {1- rho ^ {2}}} & cdots & { frac { rho ^ {T-3}} {1- rho ^ {2}}} [8pt] vdots & vdots & vdots & ddots & vdots [8pt] { frac { rho ^ {T-1}} {1- rho ^ {2}}} & { frac { rho ^ {T-2}} {1- rho ^ {2}}} & { frac { rho ^ {T-3}} {1- rho ^ {2}}} & cdots & { frac {1} {1- rho ^ {2} }} end {bmatrix}}.}$

Mít ${ displaystyle rho}$ (nebo jeho odhad), vidíme,

${ displaystyle { hat { Theta}} = ( mathbf {Z} ^ { mathsf {T}} mathbf { Omega} ^ {- 1} mathbf {Z}) ^ {- 1} ( mathbf {Z} ^ { mathsf {T}} mathbf { Omega} ^ {- 1} mathbf {Y}), ,}$

kde ${ displaystyle mathbf {Z}}$ je matice pozorování nezávislé proměnné (X_t, t = 1, 2, ..., T) včetně vektoru jedniček, ${ displaystyle mathbf {Y}}$ je vektor skládající pozorování závislé proměnné (y_t, t = 1, 2, ..., T) a ${ displaystyle { hat { Theta}}}$ zahrnuje parametry modelu.

Poznámka

Abychom pochopili, proč je počáteční předpoklad pozorování stanovený Prais – Winstenem (1954) rozumný, je užitečné vzít v úvahu mechaniku zobecněného postupu odhadu nejmenších čtverců načrtnutého výše. Inverzní z ${ displaystyle mathbf { Omega}}$ lze rozložit jako ${ displaystyle mathbf { Omega} ^ {- 1} = mathbf {G} ^ { mathsf {T}} mathbf {G}}$ s^[3]

${ displaystyle mathbf {G} = { begin {bmatrix} { sqrt {1- rho ^ {2}}} & 0 & 0 & cdots & 0 - rho & 1 & 0 & cdots & 0 0 & - rho & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & 1 end {bmatrix}}.}$

Pre-multiplikace modelu v maticové notaci s touto maticí dává transformovaný model Prais – Winsten.

Omezení

The chybový termín je stále omezeno na typ AR (1). Li ${ displaystyle rho}$ není známo, rekurzivní postup (Cochrane – Orcuttův odhad ) nebo vyhledávání v mřížce (Hildreth – Lu odhad ) lze použít k provedení odhadu. Alternativně a úplná informace maximální pravděpodobnost postup, který odhaduje všechny parametry současně, navrhli Beach a MacKinnon.^[4][5]

Reference

Další čtení

• Soudce, George G .; Griffiths, William E .; Hill, R. Carter; Lee, Tsoung-Chao (1980). Teorie a praxe ekonometrie. New York: Wiley. str. 180–183. ISBN  0-471-05938-2.
• Kmenta, Jan (1986). Prvky ekonometrie (Druhé vydání.). New York: Macmillan. str.302–320. ISBN  0-02-365070-2.