Pozitivní a negativní množiny - Positive and negative sets

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Pozitivní a negativní množiny“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie míry, vzhledem k tomu, měřitelný prostor (X, Σ) a a podepsané opatření μ na to, sada A ∈ Σ se nazývá a pozitivní sada pro μ, pokud každá Σ měřitelná podmnožina A má nezáporné opatření; to znamená pro každého E ⊆ A to uspokojuje E ∈ Σ, jeden má μ (E) ≥ 0.

Podobně sada A ∈ Σ se nazývá a záporná množina pro μ, pokud pro každou podmnožinu E z A uspokojující E ∈ Σ, jeden má μ (E) ≤ 0.

Intuitivně měřitelná sada A je kladné (resp. záporné) pro μ, pokud μ je nezáporné (resp. nepozitivní) všude A. Samozřejmě, pokud μ je a nezáporné opatření, každý prvek Σ je kladná množina pro μ.

Ve světle Věta Radon – Nikodym, pokud ν je σ-konečná kladná míra taková, že | μ | ≪ ν, množina A je kladná množina pro μ kdyby a jen kdyby derivát Radon – Nikodym dμ / dν je nezáporný ν - téměř všude A. Podobně záporná množina je množina, kde dμ / dν ≤ 0 ν - téměř všude.

Vlastnosti

Z definice vyplývá, že každá měřitelná podmnožina kladné nebo záporné množiny je také kladná nebo záporná. Spojení posloupnosti kladných nebo záporných množin je také kladné nebo záporné; více formálně, pokud (A_n)_n je sekvence kladných množin

${ displaystyle bigcup _ {n = 1} ^ { infty} A_ {n}}$

je také pozitivní sada; totéž platí, pokud je slovo „pozitivní“ nahrazeno slovem „negativní“.

Sada, která je pozitivní i negativní, je μ-nulová sada, protože pokud E je měřitelná podmnožina kladné a záporné množiny A, pak oba μ (E) ≥ 0 a μ (E) ≤ 0 musí držet, a proto μ (E) = 0.

Hahnův rozklad

The Hahnova věta o rozkladu uvádí, že pro každý měřitelný prostor (X, Σ) s podepsanou mírou μ, existuje a rozdělit z X do kladné a záporné množiny; takový oddíl (P,N) je jedinečný až do μ-null nastavuje a nazývá se a Hahnův rozklad podepsaného opatření μ.

Vzhledem k Hahnovu rozkladu (P,N) z X, je snadné to ukázat A ⊆ X je kladná množina právě tehdy A se liší od podmnožiny P množinou μ-null; ekvivalentně, pokud A−P je μ-null. Totéž platí pro záporné množiny, pokud N se používá místo P.