Poincaré – Mirandova věta - Poincaré–Miranda theorem - Wikipedia

V matematice je Poincaré – Mirandova věta je zobecněním věta o střední hodnotě, od jedné funkce v jedné dimenzi, do n funkce v n rozměry. Říká to takto:

Zvážit ${ displaystyle n}$ spojité funkce ${ displaystyle n}$ proměnné, ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {n}}$. Předpokládejme, že pro každou proměnnou ${ displaystyle x_ {i}}$, funkce ${ displaystyle f_ {i}}$ je neustále negativní, když ${ displaystyle x_ {i} = - 1}$ a neustále pozitivní, když ${ displaystyle x_ {i} = 1}$. Pak je tu bod v ${ displaystyle n}$-dimenzionální krychle ${ displaystyle [-1,1] ^ {n}}$ ve kterém jsou všechny funkce zároveň rovná ${ displaystyle 0}$.

Věta je pojmenována po Henri Poincaré, který to předpokládal v roce 1883, a Carlo Miranda, který v roce 1940 ukázal, že je ekvivalentní s Brouwerova věta o pevném bodě.^[1]

Intuitivní popis

Grafické znázornění Poincaré – Mirandovy věty pro n = 2

Obrázek vpravo ukazuje ilustraci Poincarého – Mirandovy věty pro n = 2 funkce. Zvažte několik funkcí (F,G) jehož doména definice je [-1,+1]² náměstí. Funkce F je záporný na levé hranici a kladný na pravé hranici (zelené strany čtverce), zatímco funkce G je negativní na spodní hranici a pozitivní na horní hranici (červené strany čtverce). Když jdeme zleva doprava žádný cestu, musíme projít bodem, ve kterém F je 0. Proto musí existovat „zeď“ oddělující levou a pravou stranu, podél které F je 0 (zelená křivka uvnitř čtverce). Podobně musí existovat „zeď“ oddělující horní část od spodní části, podél které G je 0 (červená křivka uvnitř čtverce). Tyto stěny se musí protínat v bodě, ve kterém jsou obě funkce 0 (modrý bod uvnitř čtverce).

Zobecnění

Nejjednodušší zobecnění, ve skutečnosti a důsledek této věty je následující. Pro každou proměnnou X_i, nechť A_i být libovolná hodnota v rozsahu[sup_Xi = 0 F_i, inf_Xi = 1 F_i]Pak je v jednotkové kostce bod, ve kterém pro všechny i:

${ displaystyle f_ {i} = a_ {i}}$.

Toto tvrzení lze jednoduchým způsobem zredukovat na původní překlad os,

${ displaystyle x_ {i} ^ { prime} = x_ {i} qquad y_ {i} ^ { prime} = y_ {i} -a_ {i} qquad forall i in {1, tečky, n }}$

kde

• X_i jsou souřadnice v doméně funkce
• y_i jsou souřadnice v codomain funkce

Poznámky

Reference

• Dugundji, James; Granas, Andrzej (2003), Teorie pevného boduSpringer Monografie z matematiky, New York: Springer-Verlag, str. xv + 690, ISBN  0-387-00173-5, PAN  1987179, Zbl  1025.47002
• Kulpa, Wladyslaw (červen 1997), „The Poincare-Miranda Theorem“, Americký matematický měsíčník, 104 (6): 545–550, doi:10.2307/2975081, JSTOR  2975081, PAN  1453657, Zbl  0891.47040.
• Miranda, Carlo (1940), „Un'osservazione su un teorema di Brouwer“, Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Serie 2 (v italštině), 3: 5–7, JFM  66.0217.01, PAN  0004775, Zbl  0024.02203.

externí odkazy

• Ahlbach, Connor Thomas (2013). „Diskrétní přístup k teorému Poincare-Miranda (vedoucí práce HMC)“. Citováno 18. května 2015.