Pohlkesova věta - Pohlkes theorem - Wikipedia

Pohlkeova věta je základní věta o axonometrie. Bylo založeno 1853 německým malířem a učitelem deskriptivní geometrie Karl Wilhelm Pohlke. První důkaz věty byl publikován v roce 1864 německým matematikem Hermann Amandus Schwarz, který byl studentem Pohlke. Proto se věta někdy nazývá teorém o Pohlke a Schwarz, také.

Věta

Pohlkeova věta

Tři libovolné úseky čáry ${ displaystyle { overline {O}} { overline {U}}, { overline {O}} { overline {V}}, { overline {O}} { overline {W}}}$ v rovině pocházející z bodu ${ displaystyle { overline {O}}}$ , které nejsou obsaženy v řádku, lze považovat za paralelní projekce tří hran ${ displaystyle OU, OV, OW}$ a krychle.

Pro mapování jednotkové krychle je třeba použít další měřítko buď v prostoru, nebo v rovině. Protože parallprojection a škálování zachovává poměry, lze namapovat libovolný bod ${ displaystyle P = (x, y, z)}$ axonometrickým postupem níže.

Pohlkeho teorém lze vyjádřit pomocí lineární algebry jako:

Žádný afinní mapování trojrozměrného prostoru na rovinu lze považovat za složení a podobnost a paralelní projekce.^[1]

Aplikace na axonometrii

princip axonometrické projekce

Pohlkeova věta je zdůvodněním následujícího snadného postupu pro konstrukci zmenšené paralelní projekce trojrozměrného objektu pomocí souřadnic ,:^[2]^[3]

Vyberte obrázky souřadnicových os, které nejsou obsaženy v přímce.
Vyberte pro jakoukoli souřadnicovou osu pro zkrácení ${ displaystyle v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}> 0.}$
Obrázek ${ displaystyle { overline {P}}}$ bodu ${ displaystyle P = (x, y, z)}$ je určen třemi kroky počínaje bodem ${ displaystyle { overline {O}}}$ :

jít

{ displaystyle v_ {x} cdot x}

v

{ displaystyle { overline {x}}}

- tedy směr

jít

{ displaystyle v_ {y} cdot y}

v

{ displaystyle { overline {y}}}

- tedy směr

jít

{ displaystyle v_ {z} cdot z}

v

{ displaystyle { overline {z}}}

-směr a

4. označte bod jako

{ displaystyle { overline {P}}}

.

Abyste získali nezkreslené obrázky, musíte pečlivě vybírat obrázky os a forshortenings (viz Axonometrie ). Za účelem získání pravopisná projekce pouze obrázky os jsou volné a jsou určeny forshortenings. (vidět de: orthogonale Axonometrie ).

Poznámky k Schwarzovu důkazu

Schwarz formuloval a dokázal obecnější tvrzení:

Vrcholy libovolného čtyřúhelník lze považovat za šikmý paralelní průmět vrcholů a čtyřstěn to je podobný na daný čtyřstěn.^[4]

a použil teorém o L'Huilier:

Každý trojúhelník lze považovat za ortografický průmět trojúhelníku daného tvaru.

Poznámky

^ G. Pickert: Vom Satz von Pohlke zur linearen Algebra„Didaktik der Mathematik 11 (1983), 4, s. 297–306.
^ Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, str.144.
^ Roland Stärk: Darstellende Geometrie, Schöningh, 1978, ISBN 3-506-37443-5, str.156.
^ Sklenáriková, Zita; Pémová, Marta (2007). „Pohlke-Schwarzova věta a její význam v didaktice matematiky“ (PDF). Quaderni di Ricerca v Didattica. G.R.I.M. (Department of Mathematics, University of Palermo, Italy) (17): 155.

Reference

K. Pohlke: Zehn Tafeln zur darstellenden Geometrie. Gaertner-Verlag, Berlín 1876 (Knihy Google.)
Schwarz, H. A.:Elementar Beweis des Pohlkeschen Fundamentalsatzes der Axonometrie, J. ovládnout angew. Matematika. 63, 309–314, 1864.
Arnold Emch: Důkaz o Pohlkeově větě a jejích zobecněních podle afinity, American Journal of Mathematics, sv. 40, č. 4 (říjen, 1918), s. 366–374

externí odkazy

[1] G. Pickert: Vom Satz von Pohlke zur linearen Algebra„Didaktik der Mathematik 11 (1983), 4, s. 297–306.

[2] Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, str.144.

[3] Roland Stärk: Darstellende Geometrie, Schöningh, 1978, ISBN 3-506-37443-5, str.156.

[4] Sklenáriková, Zita; Pémová, Marta (2007). „Pohlke-Schwarzova věta a její význam v didaktice matematiky“ (PDF). Quaderni di Ricerca v Didattica. G.R.I.M. (Department of Mathematics, University of Palermo, Italy) (17): 155.

[1]

[2]

[3]

[4]