Plotkin vázán - Plotkin bound - Wikipedia

V matematika z teorie kódování, Plotkin vázán, pojmenovaný po Morrisovi Plotkinovi, je limit (nebo limit) maximálního možného počtu kódových slov v binární kódy dané délky n a vzhledem k minimální vzdálenosti d.

Prohlášení o vazbě

Kód je považován za „binární“, pokud kódová slova používají symboly z binárního souboru abeceda ${ displaystyle {0,1 }}$ . Zejména pokud mají všechna kódová slova pevnou délku n, pak má binární kód délku n. Ekvivalentně v tomto případě lze kódová slova považovat za prvky vektorový prostor ${ displaystyle mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ přes konečné pole ${ displaystyle mathbb {F} _ {2}}$ . Nechat ${ displaystyle d}$ být minimální vzdálenost ${ displaystyle C}$ , tj.

{ displaystyle d = min _ {x, y v C, x neq y} d (x, y)}

kde ${ displaystyle d (x, y)}$ je Hammingova vzdálenost mezi ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ . Výraz ${ displaystyle A_ {2} (n, d)}$ představuje maximální počet možných kódových slov v binárním kódu délky ${ displaystyle n}$ a minimální vzdálenost ${ displaystyle d}$ . Plotkinova vazba omezuje tento výraz.

Věta (Plotkinova vazba):

i) Pokud ${ displaystyle d}$ je sudé a ${ displaystyle 2d> n}$ , pak

{ displaystyle A_ {2} (n, d) leq 2 left lfloor { frac {d} {2d-n}} right rfloor.}

ii) Pokud ${ displaystyle d}$ je liché a ${ displaystyle 2d + 1> n}$ , pak

{ displaystyle A_ {2} (n, d) leq 2 levá lfloor { frac {d + 1} {2d + 1-n}} pravá rfloor.}

iii) Pokud ${ displaystyle d}$ je tedy vyrovnaný

{ displaystyle A_ {2} (2d, d) leq 4d.}

iv) Pokud ${ displaystyle d}$ je tedy zvláštní

{ displaystyle A_ {2} (2d + 1, d) leq 4d + 4}

kde ${ Displaystyle left lfloor ~ right rfloor}$ označuje funkce podlahy.

Důkaz případu i)

Nechat ${ displaystyle d (x, y)}$ být Hammingova vzdálenost z ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ , a ${ displaystyle M}$ být počet prvků v ${ displaystyle C}$ (tím pádem, ${ displaystyle M}$ je rovný ${ displaystyle A_ {2} (n, d)}$ ). Vazba se prokáže ohraničením množství ${ displaystyle sum _ {(x, y) v C ^ {2}, x neq y} d (x, y)}$ dvěma různými způsoby.

Na jedné straně existují ${ displaystyle M}$ možnosti pro ${ displaystyle x}$ a pro každou takovou volbu existují ${ displaystyle M-1}$ možnosti pro ${ displaystyle y}$ . Protože podle definice ${ displaystyle d (x, y) geq d}$ pro všechny ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ ( ${ displaystyle x neq y}$ ), z toho vyplývá, že

{ displaystyle sum _ {(x, y) v C ^ {2}, x neq y} d (x, y) geq M (M-1) d.}

Na druhou stranu ${ displaystyle A}$ být ${ displaystyle M krát n}$ matice, jejíž řádky jsou prvky ${ displaystyle C}$ . Nechat ${ displaystyle s_ {i}}$ být počet nul obsažených v ${ displaystyle i}$ sloupec ${ displaystyle A}$ . To znamená, že ${ displaystyle i}$ sloupec obsahuje ${ displaystyle M-s_ {i}}$ ty. Každá volba nuly a jedné ve stejném sloupci přispívá přesně ${ displaystyle 2}$ (protože ${ displaystyle d (x, y) = d (y, x)}$ ) k součtu ${ displaystyle sum _ {(x, y) v C, x neq y} d (x, y)}$ a proto

{ displaystyle sum _ {(x, y) v C, x neq y} d (x, y) = součet _ {i = 1} ^ {n} 2s_ {i} (M-s_ {i }).}

Množství vpravo je maximalizováno právě tehdy ${ displaystyle s_ {i} = M / 2}$ platí pro všechny ${ displaystyle i}$ (v tomto bodě důkazu ignorujeme skutečnost, že ${ displaystyle s_ {i}}$ jsou celá čísla)

{ displaystyle sum _ {(x, y) v C, x neq y} d (x, y) leq { frac {1} {2}} nM ^ {2}.}

Kombinace horní a dolní hranice pro ${ displaystyle sum _ {(x, y) v C, x neq y} d (x, y)}$ které jsme právě odvodili,

{ displaystyle M (M-1) d leq { frac {1} {2}} nM ^ {2}}

který to dal ${ displaystyle 2d> n}$ je ekvivalentní k

{ displaystyle M leq { frac {2d} {2d-n}}.}

Od té doby ${ displaystyle M}$ je dokonce, z toho vyplývá

{ displaystyle M leq 2 left lfloor { frac {d} {2d-n}} right rfloor.}

Tím je dokončen důkaz vázaného.

Viz také

Reference

Plotkin, Morris (1960). Msgstr "Binární kódy se stanovenou minimální vzdáleností". Transakce IRE na teorii informací. 6: 445–450. doi:10.1109 / TIT.1960.1057584.