Plethysm - Plethysm

V algebře, plethysm je operace na symetrické funkce představil Dudley E. Littlewood,^[1] kdo to označil {λ} ⊗ {μ}. Slovo „plethysm“ pro tuto operaci (po řeckém slově πληθυσμός, což znamená „násobení“) bylo později představeno Littlewoodem (1950, str. 289, 1950b, s. 274), který uvedl, že název navrhl M. L. Clark.

Pokud jsou symetrické funkce identifikovány s operacemi v lambda kroužky, pak plethysm odpovídá složení operací.

V teorii reprezentace

Nechat PROTI být vektorový prostor přes komplexní čísla, považováno za a zastoupení z obecná lineární skupina GL (PROTI). Každý Mladý diagram λ odpovídá a Schurův funktor L_λ(-) v kategorii GL (PROTI) -reprezentace. Vzhledem k tomu, dva Youngovy diagramy λ a μ, zvažte rozklad L_λ(L._μ(PROTI)) do přímý součet z neredukovatelné reprezentace skupiny. Podle teorie reprezentace z obecné lineární skupiny víme, že každý součet je izomorfní ${ displaystyle L _ { nu} (V)}$ pro Youngův diagram ${ displaystyle nu}$ . Takže pro některé nezáporné multiplicity ${ displaystyle a _ { lambda, mu, nu}}$ existuje izomorfismus

{ displaystyle L _ { lambda} (L _ { mu} (V)) = bigoplus _ { nu} L _ { nu} (V) ^ { oplus a _ { lambda, mu, nu}} .}

The problém (vnějšího) pletysmu je najít výraz pro multiplicitu ${ displaystyle a _ { lambda, mu, nu}}$ .^[2]

Tato formulace úzce souvisí s klasickou otázkou. The charakter GL (PROTI) - zastoupení L_λ(PROTI) je symetrická funkce v dim (PROTI) proměnné, známé jako Schurův polynom s_λ odpovídá Youngovu diagramu λ. Schurovy polynomy tvoří základ v prostoru symetrických funkcí. Proto k pochopení pletysmu dvou symetrických funkcí by stačilo znát jejich výrazy na tomto základě a výraz pro pletyzmus dvou libovolných Schurových polynomů {s_λ}⊗{s_μ}. Druhá část dat je přesně charakter L_λ(L_μ(PROTI)).

Reference

^ Littlewood (1936, str. 52, 1944, str. 329)
^ Weyman, Jerzy (2003). Cohomology of Vector Bundles and Syzygies. Cambridge University Press. doi:10.1017 / CBO9780511546556. ISBN 9780511546556.

Littlewood, D. E. (1936), „Polynomiální konkomitanty a invariantní matice“, J. London Math. Soc., 11 (1): 49–55, doi:10.1112 / jlms / s1-11.1.49, Zbl 0013.14602
Littlewood, D. E. (1944), "Invariantní teorie, tenzory a skupinové znaky", Filozofické transakce královské společnosti A, 239: 305–365, doi:10.1098 / rsta.1944.0001, JSTOR 91389, PAN 0010594
Littlewood, Dudley E. (1950), Teorie skupinových znaků a maticová reprezentace skupin, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-4067-2, PAN 0002127
Littlewood, D. E. (1950b), Univerzitní algebra, Melbourne, Londýn, Toronto: William Heinemann, Ltd., PAN 0045079

[1] Littlewood (1936, str. 52, 1944, str. 329)

[weyman-2] Weyman, Jerzy (2003). Cohomology of Vector Bundles and Syzygies. Cambridge University Press. doi:10.1017 / CBO9780511546556. ISBN 9780511546556.

[1]

[2]