Akce permutace místa - Place-permutation action

tento článek je sirotek, jako žádné další články odkaz na to. Prosím zavést odkazy na tuto stránku z související články; zkuste Najít odkaz nástroj pro návrhy. (Října 2014)

V matematice existují dvě přirozené interpretace místo-permutace akce z symetrické skupiny, ve kterém prvky skupiny působí na pozice nebo místa. Každý může být považován za akci levou nebo pravou, v závislosti na pořadí, ve kterém se člověk rozhodne skládat obměny. Existují pouze dvě interpretace významu „jednání na základě permutace“ ${ displaystyle sigma}$„ale vedou ke čtyřem variantám, v závislosti na tom, zda jsou mapy psány nalevo nebo napravo od jejich argumentů. Přítomnost tolika variací často vede ke zmatku. Když považujeme skupinovou algebru symetrické skupiny za diagram algebra^[1] je přirozené psát mapy vpravo, aby bylo možné počítat kompozice diagramů zleva doprava.

Mapy napsané vlevo

Nejprve předpokládáme, že mapy jsou psány nalevo od jejich argumentů, takže kompozice se odehrávají zprava doleva. Nechat ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {n}}$ být symetrická skupina^[2] na ${ displaystyle n}$ písmena s kompozicemi počítanými zprava doleva.

Představte si situaci, ve které prvky ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {n}}$ akt^[3] na „místech“ (tj. pozicích) něčeho. Místa mohou být vrcholy pravidelného mnohoúhelníku ${ displaystyle n}$ strany, polohy tenzoru jednoduchého tenzoru nebo dokonce vstupy polynomu o ${ displaystyle n}$ proměnné. Takže máme ${ displaystyle n}$ místa, očíslovaná v pořadí od 1 do ${ displaystyle n}$obsazený ${ displaystyle n}$ objekty, které můžeme očíslovat ${ displaystyle x_ {1}, dots, x_ {n}}$. Stručně řečeno, můžeme považovat naše položky za slovo ${ displaystyle x = x_ {1} cdots x_ {n}}$ délky ${ displaystyle n}$ ve kterém je poloha každého prvku významná. Co teď znamená jednat „permutací místa“ ${ displaystyle x}$? Existují dvě možné odpovědi:

1. prvek ${ displaystyle sigma in { mathfrak {S}} _ {n}}$ může přesouvat položku v ${ displaystyle j}$th místo na ${ displaystyle sigma (j)}$th místo, nebo
2. může to udělat opačně a přesunout položku z ${ displaystyle sigma (j)}$th místo na ${ displaystyle j}$th místo.

Každá z těchto interpretací významu „akce“ podle ${ displaystyle sigma}$ (na místech) je stejně přirozený a oba jsou matematiky široce používány. Když se tedy setkáme s instancí akce „místo-permutace“, musíme se postarat o to, abychom z kontextu určili, která interpretace je zamýšlena, pokud autor neposkytne konkrétní vzorce.

Zvažte první výklad. Následující popisy jsou ekvivalentními způsoby, jak popsat pravidlo pro první interpretaci akce:

• Pro každého ${ displaystyle j}$, přesuňte položku do ${ displaystyle j}$th místo na ${ displaystyle sigma (j)}$th místo.
• Pro každého ${ displaystyle j}$, přesuňte položku do ${ displaystyle sigma ^ {- 1} (j)}$th místo na ${ displaystyle j}$th místo.
• Pro každého ${ displaystyle j}$, vyměňte položku v ${ displaystyle j}$th pozice tím, kdo byl v ${ displaystyle sigma ^ {- 1} (j)}$th místo.

Tuto akci lze zpravidla psát ${ displaystyle x_ {1} cdots x_ {n} { overset { sigma} { longrightarrow}} x _ { sigma ^ {- 1} (1)} cdots x _ { sigma ^ {- 1} ( n)}}$.

Nyní, když budeme jednat podle toho jinou permutací ${ displaystyle tau}$ pak musíme nejprve znovu označit položky písemně ${ displaystyle y_ {1} cdots y_ {n} = x _ { sigma ^ {- 1} (1)} cdots x _ { sigma ^ {- 1} (n)}}$. Pak ${ displaystyle tau}$ vezme to ${ displaystyle y _ { tau ^ {- 1} (1)} cdots y _ { tau ^ {- 1} (n)} = x _ { sigma ^ {- 1} tau ^ {- 1} (1 )} cdots x _ { sigma ^ {- 1} tau ^ {- 1} (n)} = x _ {( tau sigma) ^ {- 1} (1)} cdots x _ {( tau sigma) ^ {- 1} (n)}.}$ To dokazuje, že akce je a levá akce: ${ Displaystyle tau cdot ( sigma cdot x) = ( tau sigma) cdot x}$.

Nyní uvažujeme druhý výklad akce ${ displaystyle sigma}$, což je opakem prvního. Následující popisy druhého výkladu jsou rovnocenné:

• Pro každého ${ displaystyle j}$, přesuňte položku do ${ displaystyle j}$th místo na ${ displaystyle sigma ^ {- 1} (j)}$th místo.
• Pro každého ${ displaystyle j}$, přesuňte položku do ${ displaystyle sigma (j)}$th místo na ${ displaystyle j}$th místo.
• Pro každého ${ displaystyle j}$, vyměňte položku v ${ displaystyle j}$th pozice tím, kdo byl v ${ displaystyle sigma (j)}$th místo.

Tuto akci lze zpravidla psát ${ displaystyle x_ {1} cdots x_ {n} { overset { sigma} { longrightarrow}} x _ { sigma (1)} cdots x _ { sigma (n)}}$.

Aby bylo možné jednat podle toho jinou permutací ${ displaystyle tau}$, opět jsme nejprve označili položky písemně ${ displaystyle y_ {1} cdots y_ {n} = x _ { sigma (1)} cdots x _ { sigma (n)}}$. Pak akce ${ displaystyle tau}$ vezme to ${ Displaystyle y _ { tau (1)} cdots y _ { tau (n)} = x _ { sigma tau (1)} cdots x _ { sigma tau (n)} = x _ {( sigma tau) (1)} cdots x _ {( sigma tau) (n)}.}$ To dokazuje, že náš druhý výklad akce je a správná akce: ${ Displaystyle (x cdot sigma) cdot tau = x cdot ( sigma tau)}$.

Příklad

Li ${ displaystyle sigma = (1,2,3)}$ je 3-cyklus ${ displaystyle 1 až 2 až 3 až 1}$ a ${ displaystyle tau = (1,3)}$ je provedení ${ displaystyle 1 až 3 až 1}$, poté, co píšeme mapy nalevo od jejich argumentů, máme ${ Displaystyle sigma tau = (1,2,3) (1,3) = (2,3), quad tau sigma = (1,3) (1,2,3) = (1, 2).}$ Pomocí první interpretace, kterou máme ${ displaystyle x = x_ {1} x_ {2} x_ {3} { přesahující { sigma} { longrightarrow}} x_ {3} x_ {1} x_ {2} { přesahující { tau} { longrightarrow}} x_ {2} x_ {1} x_ {3}}$, jehož výsledek souhlasí s jednáním ${ displaystyle tau sigma = (1,2)}$ na ${ displaystyle x = x_ {1} x_ {2} x_ {3}}$. Tak ${ Displaystyle tau cdot ( sigma cdot x) = ( tau sigma) cdot x}$.

Na druhou stranu, pokud použijeme druhou interpretaci, máme ${ displaystyle x = x_ {1} x_ {2} x_ {3} { přesahující { sigma} { longrightarrow}} x_ {2} x_ {3} x_ {1} { přesahující { tau} { longrightarrow}} x_ {1} x_ {3} x_ {2}}$, jehož výsledek souhlasí s jednáním ${ displaystyle sigma tau = (2,3)}$ na ${ displaystyle x = x_ {1} x_ {2} x_ {3}}$. Tak ${ Displaystyle (x cdot sigma) cdot tau = x cdot ( sigma tau)}$.

Mapy napsané vpravo

Někdy lidé rádi píší mapy napravo^[4] jejich argumentů. Toto je praktická konvence, kterou si osvojíte při práci se symetrickými skupinami jako diagramové algebry, protože od té doby lze číst skladby zleva doprava místo zprava doleva. Otázka zní: jak to ovlivní dvě interpretace akce místo-permutace symetrické skupiny?

Odpověď je jednoduchá. Psaním map na pravé místo na levé straně obracíme pořadí složení, takže ve skutečnosti nahradíme ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {n}}$ podle jeho opačná skupina ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {n} ^ { text {op}}}$. Toto je stejná skupina, ale pořadí skladeb je obrácené.

Obrácení pořadí skladeb evidentně mění levé akce na pravé a naopak mění pravé akce na levé. To znamená, že naše první interpretace se stává a že jo akce, zatímco druhá se stává a vlevo, odjet jeden.

V symbolech to znamená, že akce ${ displaystyle x_ {1} cdots x_ {n} { overset { sigma} { longrightarrow}} x_ {1 sigma ^ {- 1}} cdots x_ {n sigma ^ {- 1}}}$ je nyní správná akce, zatímco akce ${ displaystyle x_ {1} cdots x_ {n} { overset { sigma} { longrightarrow}} x_ {1 sigma} cdots x_ {n sigma}}$ je nyní akce vlevo.

Příklad

Nechali jsme ${ displaystyle sigma = (1,2,3)}$ být 3-cyklus ${ displaystyle 1 až 2 až 3 až 1}$ a ${ displaystyle tau = (1,3)}$ provedení ${ displaystyle 1 až 3 až 1}$, jako dříve. Protože nyní píšeme mapy napravo od jejich argumentů, máme ${ Displaystyle sigma tau = (1,2,3) (1,3) = (1,2), quad tau sigma = (1,3) (1,2,3) = (2, 3).}$ Pomocí první interpretace, kterou máme ${ displaystyle x = x_ {1} x_ {2} x_ {3} { přesahující { sigma} { longrightarrow}} x_ {3} x_ {1} x_ {2} { přesahující { tau} { longrightarrow}} x_ {2} x_ {1} x_ {3}}$, jehož výsledek souhlasí s jednáním ${ displaystyle sigma tau = (1,2)}$ na ${ displaystyle x = x_ {1} x_ {2} x_ {3}}$. Tak ${ Displaystyle (x cdot sigma) cdot tau = x cdot ( sigma tau)}$.

Na druhou stranu, pokud použijeme druhou interpretaci, máme ${ displaystyle x = x_ {1} x_ {2} x_ {3} { přesahující { sigma} { longrightarrow}} x_ {2} x_ {3} x_ {1} { přesahující { tau} { longrightarrow}} x_ {1} x_ {3} x_ {2}}$, jehož výsledek souhlasí s jednáním ${ displaystyle tau sigma = (2,3)}$ na ${ displaystyle x = x_ {1} x_ {2} x_ {3}}$. Tak ${ Displaystyle tau cdot ( sigma cdot x) = ( tau sigma) cdot x}$.

souhrn

Na závěr shrneme čtyři možnosti uvažované v tomto článku. Zde jsou čtyři varianty:

Pravidlo	Typ akce
${ displaystyle x_ {1} cdots x_ {n} { overset { sigma} { longrightarrow}} x _ { sigma ^ {- 1} (1)} cdots x _ { sigma ^ {- 1} ( n)}}$	levá akce
${ displaystyle x_ {1} cdots x_ {n} { overset { sigma} { longrightarrow}} x _ { sigma (1)} cdots x _ { sigma (n)}}$	správná akce
${ displaystyle x_ {1} cdots x_ {n} { overset { sigma} { longrightarrow}} x_ {1 sigma ^ {- 1}} cdots x_ {n sigma ^ {- 1}}}$	správná akce
${ displaystyle x_ {1} cdots x_ {n} { overset { sigma} { longrightarrow}} x_ {1 sigma} cdots x_ {n sigma}}$	levá akce

Ačkoli existují čtyři varianty, stále existují pouze dva různé způsoby jednání; čtyři varianty vyplývají z volby psaní map vlevo nebo vpravo, což je volba, která je čistě věcí konvence.

Poznámky

Reference

• Tom Halverson a Arun Ram, „Algebry dělení“, Evropská J. Combin. 26 (2005), č. 6, 869–921.
• Thomas Hungerford, Algebra. Springer Lecture Notes 73, Springer-Verlag 1974.
• Gordon D. James, Teorie reprezentace symetrických skupin. Poznámky k přednášce v matematice. 682 (1978), Springer.
• Hermann Weyl, Klasické skupiny: jejich invarianty a reprezentace. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1939.