Perfektní mříž - Perfect lattice
V matematice, a perfektní mříž (nebo perfektní forma) je mříž v Euklidovský vektorový prostor, což je zcela určeno množinou S jeho minimálních vektorů v tom smyslu, že existuje pouze jeden pozitivní určitý kvadratický tvar s hodnotou 1 ve všech bodech S. Dokonalé mřížky představil Korkine & Zolotareff (1877). A silně dokonalá mříž je ten, jehož minimální vektory tvoří sférický 4-design. Tuto představu představil Venkov (2001).
Voronoi (1908) dokázal, že mřížka je extrémní právě tehdy, když je dokonalá a eutaktický.
Počet dokonalých mřížek v rozměrech 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 je dán 1, 1, 1, 2, 3, 7, 33, 10916 (sekvence A004026 v OEIS ). Conway & Sloane (1988) shrnout vlastnosti dokonalých mřížek dimenze do 7.Sikirić, Schürmann & Vallentin (2007) ověřeno, že seznam 10916 dokonalých svazů v dimenzi 8, který našel Martinet a další, je úplný. Bylo prokázáno Riener (2006) že pouze 2408 z těchto 10916 dokonalých svazů v dimenzi 8 jsou ve skutečnosti extrémní svazy.
Reference
- Conway, John Horton; Sloane, N. J. A. (1988), "Nízko-dimenzionální mřížky. III. Perfektní formy", Sborník královské společnosti v Londýně. Řada A: Matematické, fyzikální a technické vědy, 418 (1854): 43–80, Bibcode:1988RSPSA.418 ... 43C, doi:10.1098 / rspa.1988.0073, ISSN 0962-8444, JSTOR 2398316, PAN 0953277
- Conway, J. H .; Sloane, N. J. A. (1989). „Errata: Low-Dimensional Lattices. III. Perfect Forms“. Sborník královské společnosti v Londýně. Řada A, Matematické a fyzikální vědy. 426 (1871): 441. Bibcode:1989RSPSA.426..441C. doi:10.1098 / rspa.1989.0134. JSTOR 2398351.
- Korkine; Zolotareff (1877), „Sur les formes quadratique pozitiv“, Mathematische Annalen, 11 (2): 242–292, doi:10.1007 / BF01442667, ISSN 0025-5831
- Martinet, Jacques (2003), Dokonalé mřížky v euklidovských prostorech Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd], 327, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-05167-2, ISBN 978-3-540-44236-3, PAN 1957723
- Riener, Cordian (2006), „V extrémních formách v dimenzi 8“, Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 18 (3): 677–682, doi:10,5802 / jtnb.565
- Sikirić, Mathieu Dutour; Schürmann, Achill; Vallentin, Frank (2007), „Klasifikace osmrozměrných dokonalých forem“, Oznámení American Mathematical Society o elektronickém výzkumu, 13 (3): 21–32, arXiv:matematika / 0609388, doi:10.1090 / S1079-6762-07-00171-0, ISSN 1079-6762, PAN 2300003
- Venkov, Boris (2001), „Réseaux et design sphériques, Réseaux euclidiens, design sphériques et formes modulaires“, Monographie de l'Enseignement Mathématique, 37: 10–86
- Voronoi, G. (1908), „Nouvelles applications des paramètres continus à la théorie des formes quadratiques. Premier Mémoire: Sur quelques propriétés des formes quadratiques positives parfaites“, Journal für die reine und angewandte Mathematik (francouzsky), 1908 (133): 97–178, doi:10,1515 / crll.1908.133.97, ISSN 0075-4102