Parseval – Gutzmerův vzorec - Parseval–Gutzmer formula - Wikipedia

V matematice je Parseval – Gutzmerův vzorec uvádí, že pokud ${ displaystyle f}$ je analytická funkce na uzavřený disk poloměru r s Taylor série

${ displaystyle f (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} z ^ {k},}$

pak pro z = re^iθ na hranici disku,

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} | f (re ^ {i theta}) | ^ {2} , mathrm {d} theta = 2 pi sum _ {k = 0} ^ { infty} | a_ {k} | ^ {2} r ^ {2k},}$

které lze také napsat jako

${ displaystyle { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} | f (re ^ {i theta}) | ^ {2} , mathrm {d} theta = sum _ {k = 0} ^ { infty} | a_ {k} r ^ {k} | ^ {2}.}$

Důkaz

Cauchyův integrální vzorec pro koeficienty uvádí, že za výše uvedených podmínek:

${ displaystyle a_ {n} = { frac {1} {2 pi i}} int _ { gamma} ^ {} { frac {f (z)} {z ^ {n + 1}}} , mathrm {d} z}$

kde y je definována jako kruhová cesta kolem počátku poloměru r. Také pro ${ displaystyle x in mathbb {C},}$ my máme: ${ displaystyle { overline {x}} {x} = | x | ^ {2}.}$ Uplatnění obou těchto skutečností na problém počínaje druhým faktem:

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ {2 pi} left | f left (re ^ {i theta} right) right | ^ {2} , mathrm { d} theta & = int _ {0} ^ {2 pi} f left (re ^ {i theta} right) { overline {f left (re ^ {i theta} right) }} , mathrm {d} theta [6pt] & = int _ {0} ^ {2 pi} f left (re ^ {i theta} right) left ( sum _ {k = 0} ^ { infty} { overline {a_ {k} left (re ^ {i theta} right) ^ {k}}} right) , mathrm {d} theta && { text {Použití Taylorovy expanze na konjugátu}} [6pt] & = int _ {0} ^ {2 pi} f left (re ^ {i theta} right) left ( sum _ {k = 0} ^ { infty} { overline {a_ {k}}} left (re ^ {- i theta} right) ^ {k} right) , mathrm {d} theta [6pt] & = sum _ {k = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {2 pi} f left (re ^ {i theta} right) { overline {a_ {k}}} left (re ^ {- i theta} right) ^ {k} , mathrm {d} theta && { text {Jednotná konvergence Taylorovy řady}} [6pt ] & = sum _ {k = 0} ^ { infty} left (2 pi { overline {a_ {k}}} r ^ {2k} right) left ({ frac {1} { 2 { pi} i}} int _ {0} ^ {2 pi} { frac {f left (re ^ {i theta} right)} {(re ^ {i theta}) ^ {k + 1}}} {rie ^ {i theta}} right) mathrm {d} theta & = sum _ {k = 0} ^ { infty} left (2 pi { overline {a_ {k}}} r ^ {2k} right) a_ {k} && { text {Applying Cauchy Integral Formula}} & = {2 pi} sum _ {k = 0} ^ { infty} {| a_ {k} | ^ {2} r ^ {2k}} end {zarovnáno}}}$

Další aplikace

Pomocí tohoto vzorce je možné to ukázat

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} | a_ {k} | ^ {2} r ^ {2k} leqslant M_ {r} ^ {2}}$

kde

${ displaystyle M_ {r} = sup {| f (z) |: | z | = r }.}$

To se provádí pomocí integrálu

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} vlevo | f vlevo (re ^ {i theta} vpravo) vpravo | ^ {2} , mathrm {d} theta leqslant 2 pi left | max _ { theta in [0,2 pi)} left (f left (re ^ {i theta} right) right) right | ^ {2} = 2 pi left | max _ {| z | = r} (f (z)) right | ^ {2} = 2 pi M_ {r} ^ {2}}$

Reference

• Ahlfors, Larsi (1979). Komplexní analýza. McGraw – Hill. ISBN  0-07-085008-9.

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.