Povrch PDE - PDE surface

Povrchy PDE jsou používány v geometrické modelování a počítačová grafika pro vytváření hladkých povrchů vyhovujících dané konfiguraci hranic. Použití povrchů PDE parciální diferenciální rovnice generovat povrch, který obvykle vyhovuje matematice problém mezní hodnoty.

Povrchy PDE byly poprvé zavedeny do oblasti geometrické modelování a počítačová grafika dva britští matematici, Malcolm Bloor a Michael Wilson.

Technické údaje

Metoda PDE zahrnuje generování povrchu pro nějakou hranici pomocí řešení eliptická parciální diferenciální rovnice formuláře

{displaystyle left ({frac {částečné ^ {2}} {částečné u ^ {2}}} + a ^ {2} {frac {částečné ^ {2}} {částečné v ^ {2}}} vpravo) ^ { 2} X (u, v) = 0.}

Tady ${displaystyle X (u, v)}$ je funkce parametrizovaná těmito dvěma parametry ${displaystyle u}$ a ${displaystyle v}$ takhle ${displaystyle X (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v))}$ kde ${displaystyle x}$ , ${displaystyle y}$ a ${displaystyle z}$ jsou obvyklé kartézská souřadnice prostor. Okrajové podmínky funkce ${displaystyle X (u, v)}$ a jeho normální deriváty ${displaystyle částečný {X} / částečný {n}}$ jsou uloženy na okrajích povrchové záplaty.

U výše uvedené formulace je pozoruhodné, že eliptický parciální diferenciální operátor ve výše uvedeném PDE představuje vyhlazovací proces, při kterém je hodnota funkce v jakémkoli bodě na povrchu v určitém smyslu váženým průměrem okolních hodnot. Tímto způsobem se získá povrch jako hladký přechod mezi zvolenou sadou okrajové podmínky. Parametr ${displaystyle a}$ je speciální konstrukční parametr, který řídí relativní vyhlazení povrchu v ${displaystyle u}$ a ${displaystyle v}$ Pokyny.

Když ${displaystyle a = 1}$ , PDE je biharmonická rovnice: ${displaystyle X_ {uuuu} + 2X_ {uuvv} + X_ {vvvv} = 0}$ . Biharmonická rovnice je rovnice vytvořená použitím Euler-Lagrangeova rovnice ke zjednodušenému energie tenké desky funkční ${displaystyle X_ {uu} ^ {2} + 2X_ {uv} ^ {2} + X_ {vv} ^ {2}}$ . Takže řešení PDE pomocí ${displaystyle a = 1}$ je ekvivalentní minimalizaci funkční funkce tenké desky za stejných okrajových podmínek.

Aplikace

Povrchy PDE lze použít v mnoha aplikačních oblastech. Tyto zahrnují počítačem podporovaný design, interaktivní design, parametrický design, počítačová animace, počítačem podporovaná fyzikální analýza a optimalizace designu.

Reference

M.I.G. Bloor a M. J. Wilson, Generování směsných povrchů pomocí parciálních diferenciálních rovnic, Computer Aided Design, 21 (3), 165-171, (1989).
H. Ugail M.I.G. Bloor a M. J. Wilson, Techniky interaktivního návrhu pomocí metody PDE, Transakce ACM v grafice, 18(2), 195-212, (1999).
J. Huband, W. Li a R. Smith, Výslovné znázornění modelu povrchu Bloor-Wilson PDE pomocí kanonického základu pro Hermiteovu interpolaci, Mathematical Engineering in Industry, 7 (4), 421-33 (1999).
H. Du a H. Qin, Přímá manipulace a interaktivní sochařství povrchů PDE, Fórum počítačové grafiky, 19 (3), C261-C270, (2000).
H. Ugail, Parametrizace tvaru páteře pro povrchy PDE, Computing, 72, 195-204, (2004).
L. Vy, P. Comninos, J.J. Zhang, Směšování povrchů PDE s kontinuitou C2, Computers and Graphics, 28 (6), 895-906, (2004).

externí odkazy

Návrh založený na simulaci, výzkum DVE (University of Bradford, UK). (Java applet demonstrující vlastnosti povrchů PDE)
Katedra aplikované matematiky, University of Leeds podrobnosti o práci Bloor a Wilsons.