Ostrowského číslování - Ostrowski numeration

V matematice Ostrowského číslování, pojmenoval podle Alexander Ostrowski, je jedním ze dvou souvisejících systémů číslování založených na pokračující zlomky: a nestandardní poziční číselný systém pro celá čísla a necelé číslo z reálná čísla.

Opravte pozitivní iracionální číslo α s pokračujícím rozšiřováním frakcí [A₀; A₁, A₂, ...]. Nechť (q_n) je posloupnost jmenovatelů konvergentů p_n/q_n do α: ano q_n = A_nq_n−1 + q_n−2. Nechat α_n označit Tⁿ(α) kde T je Gaussova mapa T(X) = {1/X}, a piš β_n = (−1)ⁿ⁺¹ α₀ α₁ ... α_n: my máme β_n = A_nβ_n−1 + β_n−2.

Reprezentace reálných čísel

Každé pozitivní skutečné X lze psát jako

${ displaystyle x = sum _ {n = 1} ^ { infty} b_ {n} beta _ {n} }$

kde celočíselné koeficienty 0 ≤ b_n ≤ A_n a pokud b_n = A_n pak b_n−1 = 0.

Celé reprezentace

Každé kladné celé číslo N lze psát jednoznačně jako

${ displaystyle N = součet _ {n = 1} ^ {k} b_ {n} q_ {n} }$

kde celočíselné koeficienty 0 ≤ b_n ≤ A_n a pokud b_n = A_n pak b_n−1 = 0.

Li α je Zlatý řez, pak všechny dílčí kvocienty A_n jsou rovny 1, jmenovatelům q_n jsou Fibonacciho čísla a vzpamatujeme se Zeckendorfova věta na Fibonacciho zastoupení kladných celých čísel jako součet odlišných nenasledujících Fibonacciho čísel.

Viz také

• Kompletní sekvence

Reference

• Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Automatické sekvence: Teorie, Aplikace, Zobecnění. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-82332-6. Zbl  1086.11015..
• Epifanio, C .; Frougny, C .; Gabriele, A .; Mignosi, F .; Shallit, J. (2012). „Sturmianovy grafy a celočíselné reprezentace nad numeračními systémy“. Diskrétní aplikace Matematika. 160 (4–5): 536–547. doi:10.1016 / j.dam.2011.10.029. ISSN  0166-218X. Zbl  1237.68134.
• Ostrowski, Alexander (1921). „Bemerkungen zur Theorie der diophantischen Aproximace“. Hamb. Abh. (v němčině). 1: 77–98. JFM  48.0197.04.
• Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, Anne (eds.). Substituce v dynamice, aritmetice a kombinatorice. Přednášky z matematiky. 1794. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  3-540-44141-7. Zbl  1014.11015.