Optické skaláry - Optical scalars

v obecná relativita, optické skaláry odkazují na sadu tří skalární funkce ${displaystyle {{hat {heta}}}$ (expanze), ${displaystyle {hat {sigma}}}$ (smyku) a ${displaystyle {hat {omega}}}$ (kroucení / rotace / vířivost) ${displaystyle}}$ popisující šíření a geodetická nula shoda.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]

Ve skutečnosti tito tři skaláři ${displaystyle {{hat {heta}} ,, {hat {sigma}} ,, {hat {omega}}}}$ lze definovat pro časově podobné i nulové geodetické kongruence ve stejném duchu, ale nazývají se „optické skaláry“ pouze pro nulový případ. Jsou to také jejich tenzorové předchůdci ${displaystyle {{hat {heta}} {hat {h}} _ {ab} ,, {hat {sigma}} _ {ab} ,, {hat {omega}} _ {ab}}}$ které jsou převzaty v tenzorových rovnicích, zatímco skaláry ${displaystyle {{hat {heta}} ,, {hat {sigma}} ,, {hat {omega}}}}$ hlavně ukázat v rovnicích napsaných v jazyce Newman – Penroseův formalismus.

Definice: expanze, smykové napětí a kroucení

Pro geodetické časové kongruence

Označte tečné vektorové pole světové linie pozorovatele (v a podobný kongruence) jako ${displaystyle Z ^ {a}}$ , a pak by se dalo vytvořit indukované „prostorové metriky“

${displaystyle (1) quad h ^ {ab} = g ^ {ab} + Z ^ {a} Z ^ {b} ;, quad h_ {ab} = g_ {ab} + Z_ {a} Z_ {b}; , quad h _ {;; b} ^ {a} = delta _ {;; b} ^ {a} + Z ^ {a} Z_ {b} ;,}$

kde ${displaystyle h _ {;; b} ^ {a}}$ pracuje jako prostorově vyčnívající operátor. Použití ${displaystyle h _ {;; b} ^ {a}}$ promítnout derivát kovariantní souřadnice ${displaystyle abla _ {b} Z_ {a}}$ a jeden získá „prostorový“ pomocný tenzor ${displaystyle B_ {ab}}$ ,

${displaystyle (2) quad B_ {ab} = h _ {;; a} ^ {c}, h _ {;; b} ^ {d}, abla _ {d} Z_ {c} = abla _ {b} Z_ { a} + A_ {a} Z_ {b} ;,}$

kde ${displaystyle A_ {a}}$ představuje čtyřrychlost a ${displaystyle B_ {ab}}$ je čistě prostorový v tom smyslu ${displaystyle B_ {ab} Z ^ {a} = B_ {ab} Z ^ {b} = 0}$ . Konkrétně pro pozorovatele s geodetickou časově podobnou světovou linií máme

${displaystyle (3) quad A_ {a} = 0;, quad Rightarrow quad B_ {ab} = abla _ {b} Z_ {a} ;.}$

Nyní se rozložte ${displaystyle B_ {ab}}$ do symetrických a antisymetrických částí ${displaystyle heta _ {ab}}$ a ${displaystyle omega _ {ab}}$ ,

${displaystyle (4) quad heta _ {ab} = B _ {(ab)} ;, quad omega _ {ab} = B _ {[ab]} ;.}$

${displaystyle omega _ {ab} = B _ {[ab]}}$ je bez stop ( ${displaystyle g ^ {ab} omega _ {ab} = 0}$ ) zatímco ${displaystyle heta _ {ab}}$ má nenulovou stopu, ${displaystyle g ^ {ab} heta _ {ab} = heta}$ . Tedy symetrická část ${displaystyle heta _ {ab}}$ lze dále přepsat na jeho stopovou a stopovou část,

${displaystyle (5) quad heta _ {ab} = {frac {1} {3}} heta h_ {ab} + sigma _ {ab} ;.}$

Proto vše ve všem, co máme

${displaystyle (6) quad B_ {ab} = {frac {1} {3}} heta h_ {ab} + sigma _ {ab} + omega _ {ab} ;, quad heta = g ^ {ab} heta _ { ab} = g ^ {ab} B _ {(ab)} ;, quad sigma _ {ab} = heta _ {ab} - {frac {1} {3}} heta h_ {ab} ;, quad omega _ {ab } = B _ {[ab]} ;.}$

Pro geodetické nulové kongruence

Nyní zvažte geodetiku nula shoda s tečným vektorovým polem ${displaystyle k ^ {a}}$ . Podobně jako v časové situaci definujeme také

${displaystyle (7) quad {hat {B}} _ {ab}: = abla _ {b} k_ {a} ;,}$

na které lze rozložit

${displaystyle (8) quad {hat {B}} _ {ab} = {hat {heta}} _ {ab} + {hat {omega}} _ {ab} = {frac {1} {2}} {hat {heta}} {hat {h}} _ {ab} + {hat {sigma}} _ {ab} + {hat {omega}} _ {ab} ;,}$

kde

${displaystyle (9) quad {hat {heta}} _ {ab} = {hat {B}} _ {(ab)} ;, quad {hat {heta}} = {hat {h}} ^ {ab} { hat {B}} _ {ab} ;, quad {hat {sigma}} _ {ab} = {hat {B}} _ {(ab)} - {frac {1} {2}} {hat {heta} } {hat {h}} _ {ab} ;, quad {hat {omega}} _ {ab} = {hat {B}} _ {[ab]} ;.}$

Zde se „hatted“ veličiny používají k zdůraznění, že tyto veličiny pro nulové kongruence jsou dvourozměrné na rozdíl od trojrozměrného případu podobného času. Pokud však v článku pojednáme pouze o nulových shodách, lze klobouky pro jednoduchost vynechat.

Definice: optické skaláry pro nulové kongruence

Optické skaláry ${displaystyle {{hat {heta}} ,, {hat {sigma}} ,, {hat {omega}}}}$ ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] pocházejí přímo ze „scalarizace“ tenzorů ${displaystyle {{hat {heta}} ,, {hat {sigma}} _ {ab} ,, {hat {omega}} _ {ab}}}$ v Eq (9).

The expanze geodetické nulové kongruence je definována (kde pro povolení přijmeme další standardní symbol " ${displaystyle;}$ "označit kovarianční derivaci ${displaystyle abla _ {a}}$ )

${displaystyle (10) quad {hat {heta}} = {frac {1} {2}}, k ^ {a} {} _ {;, a} ;.}$

Rámeček A: Srovnání s „mírou expanze nulové shody“

Jak je uvedeno v článku "Rychlost expanze nulové kongruence ", míra odchozí a příchozí expanze, označená ${displaystyle heta _ {(ell)}}$ a ${displaystyle heta _ {(n)}}$ jsou definovány

${displaystyle (A.1) quad heta _ {(ell)}: = h ^ {ab} abla _ {a} l_ {b} ;,}$

${displaystyle (A.2) quad heta _ {(n)}: = h ^ {ab} abla _ {a} n_ {b} ;,}$

kde ${displaystyle h ^ {ab} = g ^ {ab} + l ^ {a} n ^ {b} + n ^ {a} l ^ {b}}$ představuje indukovanou metriku. Taky, ${displaystyle heta _ {(ell)}}$ a ${displaystyle heta _ {(n)}}$ lze vypočítat pomocí

${displaystyle (A.3) quad heta _ {(ell)} = g ^ {ab} abla _ {a} l_ {b} -kappa _ {(ell)} ;,}$

${displaystyle (A.4) quad heta _ {(n)} = g ^ {ab} abla _ {a} n_ {b} -kappa _ {(n)} ;,}$

kde ${displaystyle kappa _ {(ell)}}$ a ${displaystyle kappa _ {(n)}}$ jsou odchozí a příchozí neafinitní koeficienty definované

${displaystyle (A.5) quad l ^ {a} abla _ {a} l_ {b} = kappa _ {(ell)} l_ {b} ;,}$

${displaystyle (A.6) quad n ^ {a} abla _ {a} n_ {b} = kappa _ {(n)} n_ {b} ;.}$

Navíc v jazyce Newman – Penroseův formalismus s úmluvou ${displaystyle {(-, +, +, +); l ^ {a} n_ {a} = - 1,, m ^ {a} {ar {m}} _ {a} = 1}}$ , my máme

${displaystyle (A.7) quad heta _ {(l)} = - (ho + {ar {ho}}) = - 2 {ext {Re}} (ho) ,, quad heta _ {(n)} = mu + {ar {mu}} = 2 {ext {Re}} (mu) ,,}$

Jak vidíme, pro geodetickou nulovou kongruenci optický skalární ${displaystyle heta}$ hraje stejnou roli s mírou expanze ${displaystyle heta _ {(ell)}}$ a ${displaystyle heta _ {(n)}}$ . Proto pro geodetickou nulovou kongruenci, ${displaystyle heta}$ bude roven jednomu z nich ${displaystyle heta _ {(ell)}}$ nebo ${displaystyle heta _ {(n)}}$ .

The stříhat geodesic null congruence is defined by

${displaystyle (11) quad {hat {sigma}} ^ {2} = {hat {sigma}} _ {ab} {hat {ar {sigma}}} ^ {ab} = {frac {1} {2}} , g ^ {ca}, g ^ {db}, k _ {(a,;, b)}, k_ {c,;, d} - {Big (} {frac {1} {2}}, k ^ { a} {} _ {;, a} {Big)} ^ {2} =, g ^ {ca}, g ^ {db} {frac {1} {2}}, k _ {(a,;, b) }, k_ {c,;, d} - {hat {heta}} ^ {2} ;.}$

The kroutit geodesic null congruence is defined by

${displaystyle (12) quad {hat {omega}} ^ {2} = {frac {1} {2}}, k _ {[a,;, b]}, k ^ {a,;, b} = g ^ {ca}, g ^ {db}, k _ {[a,;, b]}, k_ {c,;, d} ;.}$

V praxi je geodetická nulová shoda obvykle definována buď jejím odchozím ( ${displaystyle k ^ {a} = l ^ {a}}$ ) nebo příchozí ( ${displaystyle k ^ {a} = n ^ {a}}$ ) tečné vektorové pole (což jsou také jeho nulové normály). Takto získáme dvě sady optických skalárů ${displaystyle {{hat {heta}} _ {(ell)} ,, {hat {sigma}} _ {(ell)} ,, {hat {omega}} _ {(ell)}}}$ a ${displaystyle {{hat {heta}} _ {(n)} ,, {hat {sigma}} _ {(n)} ,, {hat {omega}} _ {(n)}}}$ , které jsou definovány s ohledem na ${displaystyle l ^ {a}}$ a ${displaystyle n ^ {a}}$ , resp.

Aplikace při rozkladu rovnic šíření

Pro geodetickou časovou kongruenci

Šíření (nebo vývoj) ${displaystyle B_ {ab}}$ pro geodetickou časovou kongruenci ${displaystyle Z ^ {c}}$ respektuje následující rovnici,

${displaystyle (13) quad Z ^ {c} abla _ {c} B_ {ab} = - B _ {;; b} ^ {c} B_ {ac} + R_ {cbad} Z ^ {c} Z ^ {d } ;.}$

Vezměte stopu rovnice (13) tím, že ji uzavřete ${displaystyle g ^ {ab}}$ a Eq (13) se stává

${displaystyle (14) quad Z ^ {c} abla _ {c} heta = heta _ {,, au} = - {frac {1} {3}} heta ^ {2} -sigma _ {ab} sigma ^ { ab} + omega _ {ab} omega ^ {ab} -R_ {ab} Z ^ {a} Z ^ {b}}$

z hlediska množství v Eq (6). Kromě toho je symetrická část Eq (13) bez stop

${displaystyle (15) quad Z ^ {c} abla _ {c} sigma _ {ab} = - {frac {2} {3}} heta sigma _ {ab} -sigma _ {ac} sigma _ {; b} ^ {c} -omega _ {ac} omega _ {; b} ^ {c} + {frac {1} {3}} h_ {ab}, (sigma _ {cd} sigma ^ {cd} -omega _ { cd} omega ^ {cd}) + C_ {cbad} Z ^ {c} Z ^ {d} + {frac {1} {2}} {ilde {R}} _ {ab} ,.}$

Nakonec se získá antisymetrická složka Eq (13)

${displaystyle (16) quad Z ^ {c} abla _ {c} omega _ {ab} = - {frac {2} {3}} heta omega _ {ab} -2sigma _ {; [b} ^ {c} omega _ {a] c} ;.}$

Pro geodetickou nulovou kongruenci

(Obecná) geodetická nulová shoda se řídí následující rovnicí šíření,

${displaystyle (16) quad k ^ {c} abla _ {c} {hat {B}} _ {ab} = - {hat {B}} _ {;; b} ^ {c} {hat {B}} _ {ac} + {widehat {R_ {cbad} k ^ {c} k ^ {d}}} ;.}$

S definicemi shrnutými v Eq (9) lze Eq (14) přepsat do následujících komponentních rovnic,

${displaystyle (17) quad k ^ {c} abla _ {c} {hat {heta}} = {hat {heta}} _ {,, lambda} = - {frac {1} {2}} {hat {heta }} ^ {2} - {hat {sigma}} _ {ab} {hat {sigma}} ^ {ab} + {hat {omega}} _ {ab} {hat {omega}} ^ {ab} - { widehat {R_ {cd} k ^ {c} k ^ {d}}} ;,}$

${displaystyle (18) quad k ^ {c} abla _ {c} {hat {sigma}} _ {ab} = - {hat {heta}} {hat {sigma}} _ {ab} + {widehat {C_ { cbad} k ^ {c} k ^ {d}}} ;,}$

${displaystyle (19) quad k ^ {c} abla _ {c} {hat {omega}} _ {ab} = - {hat {heta}} {hat {omega}} _ {ab} ;.}$

Pro omezenou geodetickou nulovou kongruenci

Pro geodetickou nulovou kongruenci omezenou na nulovou hyperplochu máme

${displaystyle (20) quad k ^ {c} abla _ {c} heta = {hat {heta}} _ {,, lambda} = - {frac {1} {2}} {hat {heta}} ^ {2 } - {hat {sigma}} _ {ab} {hat {sigma}} ^ {ab} - {widehat {R_ {cd} k ^ {c} k ^ {d}}} + kappa _ {(ell)} {hat {heta}} ;,}$

${displaystyle (21) quad k ^ {c} abla _ {c} {hat {sigma}} _ {ab} = - {hat {heta}} {hat {sigma}} _ {ab} + {widehat {C_ { cbad} k ^ {c} k ^ {d}}} + kappa _ {(ell)} {hat {sigma}} _ {ab} ;,}$

${displaystyle (22) quad k ^ {c} abla _ {c} {hat {omega}} _ {ab} = 0 ;.}$

Spinové koeficienty, Raychaudhuriho rovnice a optické skaláry

Pro lepší pochopení předchozí části stručně přezkoumáme významy příslušných NP spinových koeficientů při znázornění nulové shody.^[1] The tenzor druh Raychaudhuriho rovnice^[6] čtení nulových toků

${displaystyle (23) quad {mathcal {L}} _ {ell} heta _ {(ell)} = - {frac {1} {2}} heta _ {(ell)} ^ {2} + {ilde {kappa }} _ {(ell)} heta _ {(ell)} - sigma _ {ab} sigma ^ {ab} + {ilde {omega}} _ {ab} {ilde {omega}} ^ {ab} -R_ { ab} l ^ {a} l ^ {b} ,,}$

kde ${displaystyle {ilde {kappa}} _ {(ell)}}$ je definován tak, že ${displaystyle {ilde {kappa}} _ {(ell)} l ^ {b}: = l ^ {a} abla _ {a} l ^ {b}}$ . Množství v Raychaudhuriho rovnici souvisí s rotačními koeficienty via

${displaystyle (24) quad heta _ {(ell)} = - (ho + {ar {ho}}) = - 2 {ext {Re}} (ho) ,, quad heta _ {(n)} = mu + {ar {mu}} = 2 {ext {Re}} (mu) ,,}$

${displaystyle (25) quad sigma _ {ab} = - sigma {ar {m}} _ {a} {ar {m}} _ {b} - {ar {sigma}} m_ {a} m_ {b}, ,}$

${displaystyle (26) quad {ilde {omega}} _ {ab} = {frac {1} {2}}, {Big (} ho - {ar {ho}} {Big)}, {Big (} m_ { a} {ar {m}} _ {b} - {ar {m}} _ {a} m_ {b} {Big)} = {ext {Im}} (ho) cdot {Big (} m_ {a} {ar {m}} _ {b} - {ar {m}} _ {a} m_ {b} {Big)} ,,}$

kde Eq (24) vyplývá přímo z ${displaystyle {hat {h}} ^ {ab} = {hat {h}} ^ {ba} = m ^ {b} {ar {m}} ^ {a} + {ar {m}} ^ {b} m ^ {a}}$ a

${displaystyle (27) quad heta _ {(ell)} = {hat {h}} ^ {ba} abla _ {a} l_ {b} = m ^ {b} {ar {m}} ^ {a} abla _ {a} l_ {b} + {ar {m}} ^ {b} m ^ {a} abla _ {a} l_ {b} = m ^ {b} {ar {delta}} l_ {b} + {ar {m}} ^ {b} delta l_ {b} = - (ho + {ar {ho}}) ,,}$

${displaystyle (28) quad heta _ {(n)} = {hat {h}} ^ {ba} abla _ {a} n_ {b} = {ar {m}} ^ {b} m ^ {a} abla _ {a} n_ {b} + m ^ {b} {ar {m}} ^ {a} abla _ {a} n_ {b} = {ar {m}} ^ {b} delta n_ {b} + m ^ {b} {ar {delta}} n_ {b} = mu + {ar {mu}} ,.}$

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C Eric Poisson. Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black-Hole Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press, 2004. Kapitola 2.
^ ^A ^b Hans Stephani, Dietrich Kramer, Malcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, Eduard Herlt. Přesná řešení Einsteinových polních rovnic. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. Kapitola 6.
^ ^A ^b Subrahmanyan Chandrasekhar. Matematická teorie černých děr. Oxford: Oxford University Press, 1998. Oddíl 9. (a).
^ ^A ^b Jeremy Bransom Griffiths, Jiří Podolsky. Přesný časoprostor v Einsteinově obecné relativitě. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Oddíl 2.1.3.
^ ^A ^b P Schneider, J Ehlers, E E Falco. Gravitační čočky. Berlin: Springer, 1999. Oddíl 3.4.2.
^ Sayan Kar, Soumitra SenGupta. Raychaudhuriho rovnice: krátký přehled. Pramana, 2007, 69(1): 49-76. [arxiv.org/abs/gr-qc/0611123v1 gr-qc / 0611123]

[OS-1-1] A ^b ^C Eric Poisson. Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black-Hole Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press, 2004. Kapitola 2.

[OS-2-2] A ^b Hans Stephani, Dietrich Kramer, Malcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, Eduard Herlt. Přesná řešení Einsteinových polních rovnic. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. Kapitola 6.

[OS-3-3] A ^b Subrahmanyan Chandrasekhar. Matematická teorie černých děr. Oxford: Oxford University Press, 1998. Oddíl 9. (a).

[OS-4-4] A ^b Jeremy Bransom Griffiths, Jiří Podolsky. Přesný časoprostor v Einsteinově obecné relativitě. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Oddíl 2.1.3.

[OS-5-5] A ^b P Schneider, J Ehlers, E E Falco. Gravitační čočky. Berlin: Springer, 1999. Oddíl 3.4.2.

[6] Sayan Kar, Soumitra SenGupta. Raychaudhuriho rovnice: krátký přehled. Pramana, 2007, 69(1): 49-76. [arxiv.org/abs/gr-qc/0611123v1 gr-qc / 0611123]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]