Nilsemigroup - Nilsemigroup - Wikipedia

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Dubna 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice a přesněji v poloskupina teorie, a nilsemigroup nebo nilpotentní poloskupina je poloskupina, jejíž každý prvek je nilpotentní.

Definice

Formálně poloskupina S je nilsemigroup, pokud:

• S obsahuje 0 a
• pro každý prvek A∈S, existuje kladné celé číslo k takhle A^k=0.

Konečné nilsemigroup

Pro konečnou poloskupinu existují ekvivalentní definice. Konečná poloskupina S je nilpotentní, pokud ekvivalentně:

• ${ displaystyle x_ {1} tečky x_ {n} = y_ {1} tečky y_ {n}}$ pro každého ${ displaystyle x_ {i}, y_ {i} v S}$, kde ${ displaystyle n}$ je mohutnost S.
• Nula je jediným idempotentem S.

Příklady

Triviální semigroup jednoho prvku je triviálně nilsemigroup.

Sada přísně horní trojúhelníková matice, s množením matic je nilpotentní.

Nechat ${ displaystyle I_ {n} = [a, n]}$ ohraničený interval kladných reálných čísel. Pro X, y patřící Já, definovat ${ displaystyle x star _ {n} y}$ tak jako ${ displaystyle min (x + y, n)}$. Nyní to ukazujeme ${ displaystyle langle I, star _ {n} rangle}$ je nilsemigroup, jehož nula je n. Pro každé přirozené číslo k, kx je rovný ${ displaystyle min (kx, n)}$. Pro k alespoň rovná ${ displaystyle left lceil { frac {n-x} {x}} right rceil}$, kx rovná se n. Tento příklad zobecnit pro jakýkoli ohraničený interval Archimedean objednal semigroup.

Vlastnosti

Netriviální nilsemigroup neobsahuje prvek identity. Z toho vyplývá, že jediným nilpotentním monoidem je triviální monoid.

Třída nilsemigroups je:

• uzavřeno v rámci podskupin
• uzavřeno kvocienty
• uzavřeno pod konečnými výrobky
• ale je ne uzavřen pod libovolným přímý produkt. Vskutku, vezměte poloskupinu ${ displaystyle S = prod _ {i in mathbb {N}} langle I_ {n}, star _ {n} rangle}$, kde ${ displaystyle langle I_ {n}, star _ {n} rangle}$ je definována výše. Poloskupina S je přímým produktem nilsemigroups, ale neobsahuje žádný nilpotentní prvek.

Z toho vyplývá, že třída nilsemigroups není a rozmanitost univerzální algebry. Sada konečných nilsemigroup je však a rozmanitost konečných poloskupin. Rozmanitost konečných nilsemigroup je definována profinitními rovnostmi ${ displaystyle x ^ { omega} y = x ^ { omega} = yx ^ { omega}}$.

Reference

• Pin, Jean-Éric (2018-06-15). Matematické základy teorie automatů (PDF). p. 198.
• Grillet, PA (1995). Poloskupiny. CRC Press. p. 110. ISBN  978-0-8247-9662-4.