Newtonova věta (čtyřúhelník) - Newtons theorem (quadrilateral) - Wikipedia

P leží na Newtonově linii EF

v Euklidovská geometrie Newtonova věta uvádí, že v každém tangenciální čtyřúhelník jiné než a kosočtverec, střed incircle leží na Newtonova linie.

Nechat abeceda být tangenciálním čtyřúhelníkem s nejvýše jedním párem paralelních stran. Kromě toho E a F středy jeho úhlopříček AC a BD a P být středem jeho kruhu. Vzhledem k takovéto konfiguraci je bod P umístěn na Newtonově přímce, tj. Přímce EF spojující středy úhlopříček.

Tangenciální čtyřúhelník se dvěma páry paralelních stran je kosočtverec. V tomto případě se oba střední body a střed incircle shodují a podle definice žádná Newtonova linie neexistuje.

Newtonovu větu lze snadno odvodit Annova věta vzhledem k tomu, že v tangenciálních čtyřúhelnících jsou kombinované délky protilehlých stran stejné (Pitotova věta: A + C = b + d). Nyní podle Anneovy věty ukazující, že kombinované oblasti protilehlých trojúhelníků PODLOŽKA a PBC a kombinované oblasti trojúhelníků PAB a PCD jsou stejné, je dostatečné k zajištění toho P leží na EF. Nechat r být poloměr incircle, pak r je také nadmořská výška všech čtyř trojúhelníků.

${ displaystyle { begin {aligned} & A ( trojúhelník PAB) + A ( trojúhelník PCD) [5pt] = {} & { tfrac {1} {2}} ra + { tfrac {1} {2 }} rc = { tfrac {1} {2}} r (a + c) [5pt] = {} & { tfrac {1} {2}} r (b + d) = { tfrac { 1} {2}} rc + { tfrac {1} {2}} rd [5pt] = {} & A ( trojúhelník PBC) + A ( trojúhelník PAD) end {zarovnáno}}}$

Reference

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Okouzlující důkazy: Cesta do elegantní matematiky. MAA, 2010, ISBN  9780883853481, str. 117–118 (online kopie, str. 117, v Knihy Google )

externí odkazy

• Newtonovy a Léon Anne věty na cut-the-knot.org