Mylar balón (geometrie) - Mylar balloon (geometry)

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Říjen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek má nejasný styl citace. Použité odkazy mohou být jasnější odlišným nebo konzistentním stylem citace a poznámka pod čarou. (Říjen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v geometrie, a mylar balón je povrch otáčení. Zatímco koule je povrch, který obklopuje maximum objem za dané plocha povrchu, mylar balón místo toho maximalizuje objem pro danou generatrix délka oblouku. Připomíná to trochu zploštělou kouli.

Tvar je přibližně realizován nafouknutím fyzického balónu ze dvou kruhových listů pružného, ​​nepružného materiálu; například oblíbený typ balónku na hračky vyrobený z hliníkovaný plast. Možná neintuitivně je povrch nafouknutého balónu menší než povrch kruhových listů. To je způsobeno fyzickým zvlněním povrchu, které se zvyšuje blízko okraje.

„Mylar balloon“ je název pro postavu, kterou dal W. Paulson, který nejprve zkoumal tvar. Termín byl následně přijat dalšími autory. "Mylar" je ochranná známka společnosti DuPont.

Definice

Pozitivní částí generatrix balónu je funkce z(X) kde pro danou délku generatrixu A:

${ displaystyle z (r) = 0}$

${ displaystyle int _ {0} ^ {r} ! { sqrt {1 + z '(x) ^ {2}}} , dx , = a}$ (tj .: je uvedena délka generatrixu)

${ displaystyle int _ {0} ^ {r} ! 4 pi xz (x) , dx}$ je maximum (tj. objem je maximální)

Tady poloměr r je určena z omezení.

Parametrická charakterizace

Parametrické rovnice pro generatiku balónu o poloměru r jsou dány vztahem:

${ displaystyle x (u) = r cos u; qquad z (u) = r { sqrt {2}} vlevo [E (u, { frac {1} { sqrt {2}}}) - { frac {1} {2}} F (u, { frac {1} { sqrt {2}}}) right] { text {for}} u in [0, { frac { pi} {2}}] ,}$

(kde E a F jsou eliptické integrály z druhý a za prvé druh)

Měření

„Tlouštku“ τ balónu (tj. Vzdálenost napříč v ose otáčení) lze určit výpočtem ${ displaystyle 2z ({ frac { pi} {2}})}$ z výše uvedených parametrických rovnic. Tloušťka je přibližně

τ ≈ 0,599 · 2r.

Poměr τ na r je nezávislá na velikosti balónu.

Poměr délky oblouku generatrix a k poloměru balónu je přibližně

A/r ≈ 1,3110. (reference uvádí, že „a“ je poloměr nafouknutého balónu, „r“ je poloměr nafouknutého balónu)

The objem balónu je dáno:

${ displaystyle V = { frac {2} {3}} pi ar ^ {2},}$

kde A je délka oblouku generatrix).

nebo alternativně:

${ displaystyle V = { frac {4} {3}} tau a ^ {2},}$

kde τ je tloušťka v ose otáčení

Geometrie povrchu

Poměr hlavní zakřivení v každém bodě mylarového balónu jsou přesně 2, což z něj dělá zajímavý případ a Weingarten povrch. Navíc tato jediná vlastnost plně charakterizuje bublinu. Balón je evidentně plošší v ose otáčení; tento bod má ve skutečnosti nulové zakřivení v libovolném směru.

Viz také

• Problém s papírovým sáčkem

Reference

• Mladenov, I. M. (2001). „Na geometrii mylarského balónu“. C. R. Acad. Bulg. Sci. 54: 39–44.
• Paulsen, W. H. (1994). „Jaký je tvar mylarového balónu?“. Americký matematický měsíčník. 101 (10): 953–958. doi:10.2307/2975161. JSTOR  2975161.
• Finch, Steven (13. srpna 2013). „Nafouknutí nepružné membrány“ (PDF).