Musselmanova věta - Musselmans theorem - Wikipedia

v Euklidovská geometrie, Musselmanova věta je jistá vlastnost kruhy definované libovolně trojúhelník.

Přesněji řečeno ${ displaystyle T}$ být trojúhelník a ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$, a ${ displaystyle C}$ své vrcholy. Nechat ${ displaystyle A ^ {*}}$, ${ displaystyle B ^ {*}}$, a ${ displaystyle C ^ {*}}$ být vrcholy reflexní trojúhelník ${ displaystyle T ^ {*}}$, získaný zrcadlením každého vrcholu ${ displaystyle T}$ přes opačnou stranu.^[1] Nechat ${ displaystyle O}$ být circumcenter z ${ displaystyle T}$. Zvažte tři kruhy ${ displaystyle S_ {A}}$, ${ displaystyle S_ {B}}$, a ${ displaystyle S_ {C}}$ definované body ${ displaystyle A , O , A ^ {*}}$, ${ displaystyle B , O , B ^ {*}}$, a ${ displaystyle C , O , C ^ {*}}$, resp. Věta říká, že tyto tři Musselmanovy kruhy setkat se v bodě ${ displaystyle M}$, toto je inverzní s ohledem na ${ displaystyle T}$ z izogonální konjugát nebo devítibodový střed z ${ displaystyle T}$.^[2]

Společný bod ${ displaystyle M}$ je bod ${ displaystyle X_ {1157}}$ v Seznam Clarka Kimberlinga z středy trojúhelníků.^[2][3]

Dějiny

Věta byla navržena jako pokročilý problém John Rogers Musselman a René Goormaghtigh v roce 1939,^[4] a v roce 1941 předložili důkaz.^[5] Zobecnění tohoto výsledku bylo uvedeno a prokázáno Goormaghtighem.^[6]

Goormaghtighovo zobecnění

Zobecnění Musselmanovy věty Goormaghtighem výslovně nezmiňuje kruhy.

Jako předtím, pojďme ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$, a ${ displaystyle C}$ být vrcholy trojúhelníku ${ displaystyle T}$, a ${ displaystyle O}$ jeho circumcenter. Nechat ${ displaystyle H}$ být ortocentrum z ${ displaystyle T}$, tj. průsečík jeho tří výškové čáry. Nechat ${ displaystyle A '}$, ${ displaystyle B '}$, a ${ displaystyle C '}$ být tři body na segmentech ${ displaystyle OA}$, ${ displaystyle OB}$, a ${ displaystyle OC}$, takový, že ${ displaystyle OA '/ OA = OB' / OB = OC '/ OC = t}$. Zvažte tři řádky ${ displaystyle L_ {A}}$, ${ displaystyle L_ {B}}$, a ${ displaystyle L_ {C}}$, kolmo na ${ displaystyle OA}$, ${ displaystyle OB}$, a ${ displaystyle OC}$ ačkoli body ${ displaystyle A '}$, ${ displaystyle B '}$, a ${ displaystyle C '}$, resp. Nechat ${ displaystyle P_ {A}}$, ${ displaystyle P_ {B}}$, a ${ displaystyle P_ {C}}$ být průsečíky těchto kolmých s přímkami ${ displaystyle BC}$, ${ displaystyle CA}$, a ${ displaystyle AB}$, resp.

Bylo pozorováno uživatelem Joseph Neuberg, v roce 1884, že tři body ${ displaystyle P_ {A}}$, ${ displaystyle P_ {B}}$, a ${ displaystyle P_ {C}}$ ležet na společné linii ${ displaystyle R}$.^[7] Nechat ${ displaystyle N}$ být projekcí circumcenteru ${ displaystyle O}$ na lince ${ displaystyle R}$, a ${ displaystyle N '}$ bod na ${ displaystyle ZAPNUTO}$ takhle ${ displaystyle ON '/ ON = t}$. Goormaghtigh to dokázal ${ displaystyle N '}$ je inverzní vzhledem k obvodu ${ displaystyle T}$ izogonálního konjugátu bodu ${ displaystyle Q}$ na Eulerova linie ${ displaystyle OH}$, takový, že ${ displaystyle QH / QO = 2t}$.^[8][9]

Reference