Vícepólový magnet - Multipole magnet

Vícepólové magnety jsou magnety vyrobeno z několika samostatných magnetů, které se obvykle používají k ovládání paprsky nabitých částic. Každý typ magnetu slouží určitému účelu.

• Dipólové magnety se používají k ohýbání trajektorie částic
• Čtyřpólové magnety se používají k zaostřování paprsků částic
• Sextupole magnety slouží k opravě pro chromatičnost představený čtyřpólovými magnety^[1]

Rovnice magnetického pole

Magnetické pole ideálního vícepólového magnetu v urychlovači je typicky modelováno tak, že nemá žádnou (nebo konstantní) složku rovnoběžnou s nominálním směrem paprsku (${ displaystyle z}$ směr) a příčné složky lze zapsat jako komplexní čísla:^[2]

${ displaystyle B_ {y} + iB_ {x} = C_ {n} cdot (x + iy) ^ {n-1}}$

kde ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ jsou souřadnice v rovině příčné ke jmenovitému směru paprsku. ${ displaystyle C_ {n}}$ je komplexní číslo určující orientaci a sílu magnetického pole. ${ displaystyle B_ {x}}$ a ${ displaystyle B_ {y}}$ jsou komponenty magnetického pole v příslušných směrech. Pole se skutečným ${ displaystyle C_ {n}}$ se nazývají „normální“, zatímco pole s ${ displaystyle C_ {n}}$ čistě imaginární se nazývají „zkosené“.

Prvních několik vícepólových polí

n	název	čáry magnetického pole	příklad zařízení
1	dipól
2	kvadrupól
3	sextupole

Rovnice uložené energie

Pro elektromagnet s válcovým otvorem, produkující čisté vícepólové pole řádu ${ displaystyle n}$, uložená magnetická energie je:

${ displaystyle U_ {n} = { frac {n! ^ {2}} {2n}} pi mu _ {0} ell N ^ {2} I ^ {2}.}$

Tady, ${ displaystyle mu _ {0}}$ je propustnost volného prostoru, ${ displaystyle ell}$ je efektivní délka magnetu (délka magnetu, včetně okrajových polí), ${ displaystyle N}$ je počet závitů v jedné z cívek (takový, který má celé zařízení ${ displaystyle 2nN}$ zatáčky) a ${ displaystyle I}$ je proud tekoucí cívkami. Formulování energie z hlediska ${ displaystyle NI}$ může být užitečné, protože velikost pole a poloměr vrtání není nutné měřit.

Všimněte si, že u neelektromagnetu tato rovnice stále platí, pokud lze magnetické buzení vyjádřit v jednotkách ampér.

Derivace

Rovnice pro akumulovanou energii v libovolném magnetickém poli je^[3]:

${ displaystyle U = { frac {1} {2}} int left ({ frac {B ^ {2}} { mu _ {0}}} right) , d tau.}$

Tady, ${ displaystyle mu _ {0}}$ je propustnost volného prostoru, ${ displaystyle B}$ je velikost pole a ${ displaystyle d tau}$ je nekonečně malý prvek objemu. Nyní pro elektromagnet s válcovým otvorem o poloměru ${ displaystyle R}$, produkující čisté vícepólové pole objednávky ${ displaystyle n}$, tento integrál se stává:

${ displaystyle U_ {n} = { frac {1} {2 mu _ {0}}} int ^ { ell} int _ {0} ^ {R} int _ {0} ^ {2 pi} B ^ {2} , d tau.}$

Ampérův zákon pro vícepólové elektromagnety dává pole v otvoru jako^[4]:

${ displaystyle B (r) = { frac {n! mu _ {0} NI} {R ^ {n}}} r ^ {n-1}.}$

Tady, ${ displaystyle r}$ je radiální souřadnice. Je to vidět ${ displaystyle r}$ pole dipólu je konstantní, pole kvadrupólového magnetu se lineárně zvyšuje (tj. má konstantní gradient) a pole sextupolového magnetu se parabolicky zvyšuje (tj. má konstantní druhou derivaci). Dosazením této rovnice do předchozí rovnice pro ${ displaystyle U_ {n}}$ dává:

${ displaystyle U_ {n} = { frac {1} {2 mu _ {0}}} int ^ { ell} int _ {0} ^ {R} int _ {0} ^ {2 pi} left ({ frac {n! mu _ {0} NI} {R ^ {n}}} r ^ {n-1} right) ^ {2} , d tau,}$

${ displaystyle U_ {n} = { frac {1} {2 mu _ {0}}} int _ {0} ^ {R} left ({ frac {n! mu _ {0} NI } {R ^ {n}}} r ^ {n-1} vpravo) ^ {2} (2 pi ell r , dr),}$

${ displaystyle U_ {n} = { frac { pi mu _ {0} ell n! ^ {2} N ^ {2} I ^ {2}} {R ^ {2n}}} int _ {0} ^ {R} r ^ {2n-1} , dr,}$

${ displaystyle U_ {n} = { frac { pi mu _ {0} ell n! ^ {2} N ^ {2} I ^ {2}} {R ^ {2n}}} vlevo ( { frac {R ^ {2n}} {2n}} vpravo),}$

${ displaystyle U_ {n} = { frac {n! ^ {2}} {2n}} pi mu _ {0} ell N ^ {2} I ^ {2}.}$

Reference