Vícekomorový model - Multi-compartment model

A vícekomorový model je typ matematický model používá se k popisu způsobu přenosu materiálů nebo energií mezi přihrádky systému. Každá jednotka se považuje za homogenní entitu, v níž jsou modelované entity ekvivalentní. Například ve farmakokinetickém modelu mohou kompartmenty představovat různé části těla, ve kterých se předpokládá stejnoměrně stejná koncentrace léčiva.

Vícekomorový model je tedy a soustředěné parametry Modelka.

Modely s více oddíly se používají v mnoha oblastech včetně farmakokinetika, epidemiologie, biomedicína, teorie systémů, teorie složitosti, strojírenství, fyzika, informační věda a společenské vědy. Systémy obvodů lze také považovat za vícekomorový model.

V systémové teorii to zahrnuje popis sítě, jejíž komponenty jsou kompartmenty, které představují populaci prvků, které jsou ekvivalentní s ohledem na způsob, jakým zpracovávají vstupní signály do kompartmentu.

• Okamžitá homogenní distribuce materiálů nebo energií v „prostoru“.
• Směnný kurz materiálů nebo energií mezi oddíly souvisí s hustotami těchto oddílů.
• Obvykle je žádoucí, aby materiály nepodléhaly chemickým reakcím během přenosu mezi komorami.
• Když je zajímavá koncentrace buňky, obvykle se předpokládá, že objem je v průběhu času konstantní, i když to ve skutečnosti nemusí být úplně pravda.

Matematika modelů s více oddíly je nejčastěji zjednodušena tak, aby poskytovala pouze jeden parametr - například koncentraci - uvnitř oddílu.

Jednokomorový model

Možná nejjednodušší aplikace vícesložkového modelu je v monitorování koncentrace jednotlivých buněk (viz obrázek výše). Pokud je objem buňky PROTI, Hmotnost z rozpuštěná látka je q, vstup je u(t) a sekrece roztoku je úměrná jeho hustotě v buňce, potom jeho koncentraci C v buňce v čase je dáno

${displaystyle {frac {mathrm {d} q} {mathrm {d} t}} = u (t) -kq}$

${displaystyle C = {frac {q} {V}}}$

kde k je proporcionalita.

Vícekomorový model

Se zvyšujícím se počtem oddílů může být model velmi složitý a řešení obvykle přesahující běžný výpočet.

Vzorce pro n-buňka modely s více oddíly se stávají:

${displaystyle {egin {aligned} {dot {q}} _ {1} = q_ {1} k_ {11} + q_ {2} k_ {12} + cdots + q_ {n} k_ {1n} + u_ {1 } (t) {dot {q}} _ {2} = q_ {1} k_ {21} + q_ {2} k_ {22} + cdots + q_ {n} k_ {2n} + u_ {2} ( t) vdots {dot {q}} _ {n} = q_ {1} k_ {n1} + q_ {2} k_ {n2} + cdots + q_ {n} k_ {nn} + u_ {n} ( t) konec {zarovnáno}}}$

Kde

${displaystyle 0 = součet _ {i = 1} ^ {n} {k_ {ij}}}$ pro ${displaystyle j = 1,2, tečky, n}$ (protože celkový 'obsah' všech oddílů je v uzavřeném systému konstantní)

Nebo v maticových formách:

${displaystyle mathbf {dot {q}} = mathbf {Kq} + mathbf {u}}$

Kde

${displaystyle mathbf {K} = {egin {bmatrix} k_ {11} & k_ {12} & cdots & k_ {1n} k_ {21} & k_ {22} & cdots & k_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots k_ {n1} & k_ {n2} & cdots & k_ {nn} end {bmatrix}} mathbf {q} = {egin {bmatrix} q_ {1} q_ {2} vdots q_ {n} end {bmatrix}} mathbf {u} = {egin {bmatrix} u_ {1} (t) u_ {2} (t) vdots u_ {n} (t) konec {bmatrix}}}$ a ${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 1 & cdots & 1 end {bmatrix}} mathbf {K} = {egin {bmatrix} 0 & 0 & cdots & 0 end {bmatrix}}}$ (protože celkový 'obsah' všech oddílů je v uzavřeném systému konstantní)

Ve zvláštním případě uzavřeného systému (viz níže), tj. Kde ${displaystyle mathbf {u} = 0}$ pak existuje obecné řešení.

${displaystyle mathbf {q} = c_ {1} e ^ {lambda _ {1} t} mathbf {v_ {1}} + c_ {2} e ^ {lambda _ {2} t} mathbf {v_ {2}} + cdots + c_ {n} e ^ {lambda _ {n} t} mathbf {v_ {n}}}$

Kde ${displaystyle lambda _ {1}}$, ${displaystyle lambda _ {2}}$, ... a ${displaystyle lambda _ {n}}$ jsou vlastní čísla z ${displaystyle mathbf {K}}$; ${displaystyle mathbf {v_ {1}}}$, ${displaystyle mathbf {v_ {2}}}$, ... a ${displaystyle mathbf {v_ {n}}}$ jsou příslušné vlastní vektory z ${displaystyle mathbf {K}}$; a ${displaystyle c_ {1}}$, ${displaystyle c_ {2}}$, .... a ${displaystyle c_ {n}}$ jsou konstanty.

Je však možné ukázat, že vzhledem k výše uvedenému požadavku na zajištění „obsahu“ uzavřeného systému je konstantní, pak pro každou dvojici vlastní číslo a vlastní vektor pak buď ${displaystyle lambda = 0}$ nebo ${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 1 & cdots & 1 end {bmatrix}} mathbf {v} = 0}$ a také ten vlastní číslo je 0, řekněme ${displaystyle lambda _ {1}}$

Tak

${displaystyle mathbf {q} = c_ {1} mathbf {v_ {1}} + c_ {2} e ^ {lambda _ {2} t} mathbf {v_ {2}} + cdots + c_ {n} e ^ { lambda _ {n} t} mathbf {v_ {n}}}$

Kde

${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 1 & cdots & 1 end {bmatrix}} mathbf {v_ {i}} = 0}$ pro ${displaystyle mathbf {i} = 2,3, tečky n}$

Toto řešení lze přeskupit:

${displaystyle mathbf {q} = {Bigg [} mathbf {v_ {1}} {egin {bmatrix} c_ {1} & 0 & cdots & 0 end {bmatrix}} + mathbf {v_ {2}} {egin {bmatrix} 0 & c_ { 2} & cdots & 0 end {bmatrix}} + tečky + mathbf {v_ {n}} {egin {bmatrix} 0 a 0 & cdots & c_ {n} end {bmatrix}} {Bigg]} {egin {bmatrix} 1 e ^ { lambda _ {2} t} vdots e ^ {lambda _ {n} t} end {bmatrix}}}$

Tato poněkud neelegantní rovnice ukazuje, že všechna řešení n-buňka vícekomorový model s konstantními nebo žádnými vstupy má tvar:

${displaystyle mathbf {q} = mathbf {A} {egin {bmatrix} 1 e ^ {lambda _ {2} t} vdots e ^ {lambda _ {n} t} end {bmatrix}}}$

Kde ${displaystyle mathbf {A}}$ je nxn matice a ${displaystyle lambda _ {2}}$, ${displaystyle lambda _ {3}}$, ... a ${displaystyle lambda _ {n}}$ jsou konstanty ${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 1 & cdots & 1 end {bmatrix}} mathbf {A} = {egin {bmatrix} a & 0 & cdots & 0 end {bmatrix}}}$

Modelové topologie

Obecně řečeno, jak se zvyšuje počet oddílů, je náročné najít algebraické i numerické řešení modelu. Existují však zvláštní případy modelů, které v přírodě zřídka existují, když topologie vykazují určité zákonitosti, díky nimž je řešení snazší najít. Model lze klasifikovat podle propojení buněk a vstupních / výstupních charakteristik:

1. Uzavřený model: Žádná umyvadla ani zdroj, svítí. Všechno k_oi = 0 a u_i = 0;
2. Otevřený model: Mezi buňkami jsou umyvadla nebo zdroje.
3. Catenary model: Všechny oddíly jsou uspořádány v řetězci, přičemž každý bazén se připojuje pouze ke svým sousedům. Tento model má dvě nebo více buněk.
4. Cyklický model: Jedná se o speciální případ modelu trolejového vedení se třemi nebo více buňkami, ve kterých je spojena první a poslední buňka, tj. k_1n ≠ 0 nebo / a k_n1 ≠ 0.
5. Mammillary model: Skládá se z centrálního prostoru s periferními oddíly, které jsou k němu připojeny. Mezi ostatními oddíly neexistují žádná propojení.
6. Redukovatelný model: Je to sada nespojených modelů. Má velkou podobnost s počítačovým konceptem les proti stromy.

Viz také

• Matematický model
• Biomedicínské inženýrství
• Modely biologických neuronů
• Prostorové modely v epidemiologii
• Fyziologicky založené farmakokinetické modelování

Reference

• Godfrey, K., Kompaktní modely a jejich aplikace, Academic Press, 1983 (ISBN  0-12-286970-2).
• Anderson, D. H., Kinetika prostorového modelování a sledováníSpringer-Verlag Přednášky z Biomathematics # 50, 1983 (ISBN  0-387-12303-2).
• Jacquez, J. A, Kompartmentová analýza v biologii a medicíně, 2. vyd., The University of Michigan Press, 1985.
• Evans, W. C., Linear Systems, Compartmental Modeling, and Estimability Issues in IAQ Studies, in Tichenor, B., Charakterizující zdroje znečištění vnitřního ovzduší a související účinky jímky, ASTM STP 1287, s. 239–262, 1996 (ISBN  0-8031-2030-3).