Morass (teorie množin) - Morass (set theory)

v axiomatická teorie množin, matematická disciplína, a bahno je nekonečná kombinatorická struktura, používaná k vytváření „velkých“ struktur z „malého“ počtu „malých“ aproximací. Byly vynalezeny Ronald Jensen za jeho důkaz, že kardinální věty o převodu platí pod axiom konstruovatelnosti. Daleko méně složitá, ale ekvivalentní varianta známá jako a zjednodušená bažina byl představen Vellemanem a termín móres se nyní často používá k označení těchto jednodušších struktur.

Přehled

I když je možné definovat tzv. Gap-n morasy pro n > 1, jsou tak složité, že zaměření je obvykle omezeno na případ gap-1, s výjimkou konkrétních aplikací. „Mezera“ je v zásadě hlavní rozdíl mezi velikostí použité „malé aproximace“ a velikostí konečné struktury.

Morass (gap-1) na an nespočet řádný kardinál κ (také nazývaný a (κ,1)-bahno) se skládá z a strom výšky κ + 1, přičemž nejvyšší úroveň má κ+- mnoho uzlů. Uzly jsou považovány za řadové a funkce π mezi těmito řadovými čísly jsou spojeny s okraji v pořadí stromů. Je nutné, aby ordinální struktura uzlů nejvyšší úrovně byla „vytvořena“ jako přímý limit ordinálů ve větvi k tomuto uzlu pomocí map π, takže uzly nižší úrovně lze považovat za aproximace k (větší ) uzel nejvyšší úrovně. Je stanoven dlouhý seznam dalších axiomů, aby se to stalo obzvláště „pěkným“ způsobem.[1][2]

Varianty a ekvivalenty

Vellemane[2] a Shelah a Stanley[3] nezávisle vyvinut nutící axiomy ekvivalentní existenci morasses, aby se usnadnilo jejich používání neodborníky. Jdu dále, Vellemane[4] ukázal, že existence morasses je ekvivalentní zjednodušené morasy, což jsou mnohem jednodušší struktury. Jediná známá konstrukce zjednodušeného bahna v roce 2006 Gödel's konstruovatelný vesmír je pomocí morasses, takže původní představa si zachovává zájem.

V průběhu let se také objevily další varianty moras, obvykle s přidanou strukturou. Tyto zahrnují univerzální morasy,[5] přičemž každá podmnožina κ je vybudován prostřednictvím větví bažiny, mangrovy,[6] což jsou morasy rozvrstvené do úrovní (mangaly), ve kterém musí mít každá pobočka uzel, a bažiny.[7]

Zjednodušená bažina

Vellemane [8] definovaná mezera-1 zjednodušené morasy které jsou mnohem jednodušší než morasses gap-1, a ukázaly, že existence morasses gap-1 je ekvivalentní existenci gapů 1-zjednodušených moras.

Zhruba řečeno: a (κ,1)-zjednodušená bažina M = <φ→, F⇒ > obsahuje posloupnost φ→ = <φβ : β ≤ κ > ordinálů tak, že φβ < κ pro β < κ a φκ = κ+a dvojitá sekvence F⇒ = < Fα,β : α <β ≤ κ > kde Fα,β jsou sbírky monotónních mapování z φα do φβ pro α < β  ≤ κ se specifickými (snadnými, ale důležitými) podmínkami.

Jasnou definici Vellemana najdete v,[9] kde také sestrojil (ω0, 1) zjednodušené morasy v ZFC. v [10] dal podobné jednoduché definice pro gap-2 zjednodušené morasya v [11] postavil (ω0, 2) zjednodušené morasy v ZFC.

Vyšší mezera zjednodušené morasy pro všechny n ≥ 1 definoval Morgan [12] a Szalkai ,.[13][14]

Zhruba řečeno: a (κ,n + 1)-zjednodušená bažina (ze Szalkai) M = < M→, F⇒ > obsahuje sekvenci M→ = < Mβ : β ≤ κ > z (<κ,n) zjednodušené struktury podobné bažině pro β < κ a Mκ a (κ+,n) - zjednodušená bažina a dvojitá sekvence F⇒ = < Fα, β : α < β ≤ κ> kde Fα,β jsou sbírky mapování z Mα na Mβ pro α < β ≤ κ se specifickými podmínkami.

Reference

  1. ^ K. Devlin. Stavitelnost. Springer, Berlín, 1984.
  2. ^ A b Velleman, Daniel J. (1982). „Morasses, diamond, and forcing“. Ann. Matematika. Logika. 23: 199–281. doi:10.1016/0003-4843(82)90005-5. Zbl  0521.03034.
  3. ^ S. Shelah a L. Stanley. S-forcing, I: Věta „černé skříňky“ pro morasy s aplikacemi: stromy Super-Souslin a zobecňující Martinův axiom, Israel Journal of Mathematics, 43 (1982), str. 185–224.
  4. ^ Velleman, Dan (1984). "Zjednodušené morasy". Journal of Symbolic Logic. 49 (1): 257–271. doi:10.2307/2274108. Zbl  0575.03035.
  5. ^ K. Devlin. Aspekty konstruovatelnosti, Lecture Notes in Mathematics 354, Springer, Berlin, 1973.
  6. ^ Brooke-Taylor, A .; Friedman, S. (2009). „Velcí kardinálové a marasmy mezery 1“. Annals of Pure and Applied Logic. 159 (1–2): 71–99. arXiv:0801.1912. doi:10.1016 / j.apal.2008.10.007. Zbl  1165.03033.
  7. ^ Kanamori, Akihiro (1983). "Morasses v kombinatorické teorii množin". V Mathias, A.R.D. (vyd.). Průzkumy v teorii množin. Série přednášek London Mathematical Society. 87. Cambridge: Cambridge University Press. 167–196. ISBN  0-521-27733-7. Zbl  0525.03036.
  8. ^ D. Velleman. Zjednodušené Morasses, Journal of Symbolic Logic 49, Č. 1 (1984), str. 257–271.
  9. ^ D. Velleman. Zjednodušené Morasses, Journal of Symbolic Logic 49, Č. 1 (1984), str. 257–271.
  10. ^ D. Velleman. Zjednodušené Gap-2 Morasses, Annals of Pure and Applied Logic 34, (1987), str. 171–208.
  11. ^ D. Velleman. Gap-2 Morasses of Height ω0, Journal of Symbolic Logic 52, (1987), str. 928–938.
  12. ^ Ch. Morgan. Ekvivalence Morasses a zjednodušené Morasses v případě Finite Gap, PhD. Thesis, Merton College, UK, 1989.
  13. ^ I. Szalkai. Vyšší propast zjednodušené morasy a kombinatorické aplikace, Disertační práce (v maďarštině), ELTE, Budapešť, 1991. Anglický abstrakt: http://math.uni-pannon.hu/~szalkai/Szalkai-1991d-MorassAbst-.pdf
  14. ^ I. Szalkai. Indukční definice vyšších mezer zjednodušených moras, Publicationes Mathematicae Debrecen 58 (2001), str. 605–634. http://math.uni-pannon.hu/~szalkai/Szalkai-2001a-IndMorass.pdf