Morans Já - Morans I - Wikipedia

Bílé a černé čtverce jsou dokonale rozptýlené, takže Moranovy Já bude -1. Pokud byly bílé čtverce naskládány na jednu polovinu desky a černé čtverce na druhou, Moranovy Já by bylo blízko +1. Náhodné uspořádání čtvercových barev by dalo Moranovu Já hodnota blízká 0.

v statistika, Moran Já je měřítkem prostorová autokorelace vyvinutý uživatelem Patrick Alfred Pierce Moran.^[1][2] Prostorová autokorelace je charakterizována korelací signálu mezi blízkými místy ve vesmíru. Prostorová autokorelace je složitější než jednorozměrná autokorelace protože prostorová korelace je vícerozměrná (tj. 2 nebo 3 rozměry prostoru) a vícesměrná.

Definice

Moran Já je definován jako

${ displaystyle I = { frac {N} {W}} { frac { suma _ {i} suma _ {j} w_ {ij} (x_ {i} - { bar {x}}) ( x_ {j} - { bar {x}})} { sum _ {i} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2}}}}$

kde ${ displaystyle N}$ je počet prostorových jednotek indexovaných pomocí ${ displaystyle i}$ a ${ displaystyle j}$; ${ displaystyle x}$ je proměnná zájmu; ${ displaystyle { bar {x}}}$ je průměr z ${ displaystyle x}$; ${ displaystyle w_ {ij}}$ je matice prostorových vah s nulami na úhlopříčce (tj. ${ displaystyle w_ {ii} = 0}$); a ${ displaystyle W}$ je součet všech ${ displaystyle w_ {ij}}$.

Definování matic vah

Hodnota ${ displaystyle I}$ může do značné míry záviset na předpokladech zabudovaných do matice prostorových vah ${ displaystyle w_ {ij}}$. Cílem je zkonstruovat matici, která přesně odráží vaše předpoklady o konkrétním daném prostorovém jevu. Běžným přístupem je váha 1, pokud jsou dvě zóny sousedy, a 0, jinak se definice „sousedů“ může lišit. Dalším běžným přístupem může být váha 1 až ${ displaystyle k}$ nejbližší sousedé, jinak 0. Alternativou je použití funkce rozpadu vzdálenosti pro přiřazení závaží. Někdy se délka sdílené hrany používá k přiřazení různých vah sousedům. Výběr matice prostorových vah by se měl řídit teorií o daném jevu.

Očekávaná hodnota

Očekávaná hodnota Morana Já pod nulovou hypotézou žádné prostorové autokorelace je

${ displaystyle E (I) = { frac {-1} {N-1}}}$

Při velkých velikostech vzorku (tj. Když se N blíží nekonečnu) se očekávaná hodnota blíží nule.

Jeho rozptyl se rovná

${ displaystyle operatorname {Var} (I) = { frac {NS_ {4} -S_ {3} S_ {5}} {(N-1) (N-2) (N-3) W ^ {2 }}} - (E (I)) ^ {2}}$

kde

${ displaystyle S_ {1} = { frac {1} {2}} sum _ {i} sum _ {j} (w_ {ij} + w_ {ji}) ^ {2}}$

${ displaystyle S_ {2} = součet _ {i} vlevo ( součet _ {j} w_ {ij} + součet _ {j} w_ {ji} vpravo) ^ {2}}$

${ displaystyle S_ {3} = { frac {N ^ {- 1} suma _ {i} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {4}} {(N ^ {- 1 } sum _ {i} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2}) ^ {2}}}}$

${ displaystyle S_ {4} = (N ^ {2} -3N + 3) S_ {1} -NS_ {2} + 3W ^ {2}}$

${ displaystyle S_ {5} = (N ^ {2} -N) S_ {1} -2NS_ {2} + 6W ^ {2}}$^[3]

Hodnoty Já obvykle se pohybují od -1 do +1. Hodnoty výrazně pod -1 / (N-1) označují negativní prostorovou autokorelaci a hodnoty výrazně nad -1 / (N-1) naznačují pozitivní prostorovou autokorelaci. Pro statistické testování hypotéz, Moranova Já hodnoty lze převést na z-skóre.

Moran Já nepřímo souvisí s Geary's C, ale není to totožné. Moran Já je měřítkem globální prostorové autokorelace, zatímco Geary's C je citlivější na místní prostorovou autokorelaci.

Použití

Moran Já je široce používán v oblastech zeměpis a geografická informační věda. Některé příklady zahrnují:

• Analýza geografických rozdílů ve zdravotních proměnných.^[4]
• Používá se k charakterizaci dopadu lithium koncentrace ve veřejné vodě na duševní zdraví.^[5]
• Nedávno byl také použit v dialektologie měřit význam regionálních jazykových variací.^[6]
• Používá se k definování objektivní funkce pro smysluplnou segmentaci terénu pro geomorfologické studie^[7]

Zdroje

Viz také

• Ukazatele prostorové asociace
• Geary's C.
• Prostorová heterogenita