Moffattovy víry - Moffatt eddies

Moffattovy víry jsou sekvence víry které se vyvíjejí v rozích ohraničených rovnými stěnami (nebo někdy mezi zdí a volným povrchem) v důsledku svévolného narušení působícího na asymptoticky velké vzdálenosti od rohu. Ačkoli zdrojem pohybu je libovolné narušení na velké vzdálenosti, víry se vyvíjejí zcela nezávisle, a tak řešení těchto vírů vychází z problému vlastních čísel, sebepodobné řešení druhého druhu.

Víry jsou pojmenovány po Keith Moffatt, který tyto víry objevil v roce 1964,^[1] ačkoli některé z výsledků již byly získány William Reginald Dean a P. E. Montagnon v roce 1949.^[2] Lord Rayleigh také studoval problém toku blízko rohu s homogenními okrajovými podmínkami v roce 1911.^[3] Moffattovy víry uvnitř kuželů jsou řešeny pomocí P. N. Shankar.^[4]

Popis toku

U rohu lze předpokládat, že jde o tok Stokesův tok. Popis dvourozměrné rovinné úlohy pomocí válcových souřadnic ${ displaystyle (r, theta)}$ s rychlostními složkami ${ displaystyle (u_ {r}, u _ { theta})}$ definováno a funkce streamu takhle

${ displaystyle u_ {r} = { frac {1} {r}} { frac { částečný psi} { částečný theta}}, quad u _ { theta} = - { frac { částečný psi} { částečné r}}}$

lze říci, že řídící rovnice je jednoduše biharmonická rovnice ${ displaystyle nabla ^ {4} psi = 0}$. Rovnici je nutno řešit pomocí homogenních okrajových podmínek (podmínky pro dvě stěny oddělené úhlem ${ displaystyle 2 alpha}$)

${ displaystyle { begin {sladěný} r> 0, theta = - alpha: & quad u_ {r} = 0, u _ { theta} = 0 r> 0, theta = alpha: & quad u_ {r} = 0, u _ { theta} = 0. end {zarovnáno}}}$

The Taylor škrábání toku je podobný tomuto problému, ale je poháněn nehomogenní okrajovou podmínkou. Řešení se získá expanzí vlastních funkcí,^[5]

${ displaystyle psi = součet _ {n = 1} ^ { infty} A_ {n} r ^ { lambda _ {n}} f _ { lambda _ {n}} ( theta)}$

kde ${ displaystyle A_ {n}}$ jsou konstanty a skutečná část vlastních čísel je vždy větší než jednota. Vlastní čísla ${ displaystyle lambda _ {n}}$ bude funkcí úhlu ${ displaystyle alpha}$, ale bez ohledu na vlastní funkce lze zapsat pro libovolné ${ displaystyle lambda}$,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} f_ {0} & = A + B theta + C theta ^ {2} + D theta ^ {3}, f_ {1} & = A cos theta + B sin theta + C theta cos theta + D theta sin theta, f_ {2} & = A cos 2 theta + B sin 2 theta + C theta + D , f _ { lambda} & = A cos lambda theta + B sin lambda theta + C cos ( lambda -2) theta + D sin ( lambda -2) theta, quad lambda geq 2. end {zarovnáno}}}$

U antisymetrického řešení je vlastní funkce rovnoměrná a tudíž ${ displaystyle B = D = 0}$ a požadavek okrajových podmínek ${ displaystyle sin 2 ( lambda -1) alpha = - ( lambda -1) sin 2 alpha}$. Rovnice nepřipouští žádný skutečný kořen, když ${ displaystyle 2 alpha <146}$°. Tato složitá vlastní čísla skutečně odpovídají moffattovým vírům. Komplexní vlastní číslo, pokud je dáno ${ displaystyle lambda _ {n} = 1 + (2 alpha) ^ {- 1} ( xi _ {n} + i eta _ {n})}$ kde

${ displaystyle { begin {zarovnáno} sin xi cosh eta & = - k xi, cos xi sinh xi & = - k eta. end {zarovnáno}}}$

Tady ${ displaystyle k = sin 2 alfa / 2 alfa}$.

Viz také

• Taylor škrábání toku

Reference