Nekonečná řada rozšíření Ming Antus trigonometrických funkcí - Ming Antus infinite series expansion of trigonometric functions - Wikipedia

Obrázek 1: Model Ming Antu

Obrázek 3: Ming Antu nezávisle objevil katalánská čísla.

Nekonečná řada rozšiřování trigonometrických funkcí Ming Antu. Ming Antu, dvorní matematik Dynastie Čching udělal rozsáhlou práci na nekonečnu rozšíření série z trigonometrické funkce ve svém mistrovském díle Geyuan Milü Jiefa (Rychlá metoda členění kruhu a stanovení přesného poměru kruhu). Ming Antu sestavil geometrické modely založené na hlavním oblouku kruhu a n-té pitvě hlavního oblouku. Na obr. AE je hlavní akord oblouku ABCDE, a AB, před naším letopočtem, CD, DE jsou jeho n-té stejné segmenty. Pokud akord AE = yakord AB = před naším letopočtem = CD = DE = X, úkolem bylo najít akord y jako nekonečná řada expanze akorduX. Studoval případy n = 2, 3, 4, 5, 10, 100, 1000 a 10 000 velmi podrobně v objemech 3 a 4 z Geyuan Milü Jiefa.

Historické pozadí

V roce 1701 přišel do Číny francouzský jezuitský misionář Pierre Jartoux (1668-1720), který přinesl tři nekonečné série expanzí trigonometrických funkcí Isaac Newton a J. Gregory:^[1]

${ displaystyle pi = 3 left (1 + { frac {1} {4 cdot 3!}} + { frac {3 ^ {2}} {4 ^ {2} cdot 5!}} + { frac {3 ^ {2} cdot 5 ^ {2}} {4 ^ {3} cdot 7!}} + cdots right)}$

${ displaystyle sin x = x - { frac {x ^ {3}} {3!}} + { frac {x ^ {5}} {5!}} - { frac {x ^ {7} } {7!}} + Cdots}$

${ displaystyle operatorname {vers} x = { frac {x ^ {2}} {2!}} - { frac {x ^ {4}} {4!}} + { frac {x ^ {6 }} {6!}} + Cdots.}$

Tato nekonečná řada vzbudila u čínských matematiků velký zájem o výpočet π u těchto „rychlých metod“ se jednalo pouze o násobení, sčítání nebo odčítání, které bylo mnohem rychlejší než klasické Algoritmus π Liu Hui což zahrnuje převzetí odmocniny. Jartoux však nepřinesl metodu odvození těchto nekonečných řad. Ming Antu měl podezření, že Evropané nechtějí sdílet svá tajemství, a proto byl připraven na tom pracovat. Pracoval a vypínal třicet let a dokončil rukopis s názvem Geyuan Milü Jiefa. Vytvořil geometrické modely pro získání trigonometrické nekonečné řady a nejen našel metodu odvození výše uvedených tří nekonečných řad, ale také objevil dalších šest nekonečných řad. V tomto procesu objevil a použil Katalánská čísla.

Dvousegmentový akord

Obr. 2: Geometrický model 2-segmentového akordu Ming Antu

Obrázek 2 je model 2-segmentového akordu Ming Antu. Oblouk BCD je součástí kruhu s jednotkou (r = 1) poloměr. INZERÁT je hlavní akord, oblouk BCD je půlený na C, nakreslete čáry BC, CD, nechte BC = CD =X a necháme poloměr AC = 1.

Podle všeho, ${ displaystyle BD = 2x-GH}$ ^[2]

Nechť EJ = EF, FK = FJ; rozšířit BE rovně na L a nechat EL = BE; make BF = BE, takže F je inline s AE. Rozšířené BF na M, nechť BF = MF; spojit LM, LM zjevně prochází bod C. Obrácený trojúhelník BLM podél osy BM do trojúhelníku BMN, takže C se shoduje s G a bod L se shoduje s bodem N. Invertovat trojúhelník NGB podél osy BN do trojúhelníku; zřejmě BI = BC.

${ displaystyle AB: BC: CI = 1: x: x ^ {2}}$

BM půlí CG a nechme BM = BC; připojit se k GM, CM; nakreslete CO = CM pro zachycení BM v O; make MP = MO; make NQ = NR, R je průsečík BN a AC. ∠EBC = 1/2 ∠CAE = 1/2 ABEAB; ${ displaystyle proto}$ ∠EBM = ∠EAB; získáme tedy řadu podobných trojúhelníků: ABE, BEF, FJK, BLM, CMO, MOP, CGH a trojúhelník CMO = trojúhelník EFJ;^[3]

${ displaystyle AB: BE: EF: FJ: JK = 1: p: p ^ {2}: p ^ {3}: p ^ {4}}$

${ displaystyle 1: BE = BE: EF;}$ a to ${ displaystyle EF = BE ^ {2}}$

${ displaystyle 1: BE ^ {2} = x: GH}$

Tak ${ displaystyle GH = x cdot BE ^ {2} = xp ^ {2}}$,

a ${ displaystyle BD = 2x-xp ^ {2}}$

Protože ABEC a BLIN ve tvaru draka jsou podobné.^[3]

${ displaystyle EF = LC = CM = MG = NG = IN}$

${ displaystyle LM + MN = CM + MN + IN = CI + OP = JK + CI}$

${ displaystyle proto AB: (BE + EC) = BL: (LM + MN)}$ a ${ displaystyle AB: BL = BL: (CI + JK)}$

Nechat ${ displaystyle BL = q}$

${ displaystyle AB: BL: (CI + JK) = 1: q: q ^ {2}}$

${ displaystyle JK = p ^ {4}}$

${ displaystyle CI = y ^ {2}}$

${ displaystyle CI + JK = q ^ {2} = BL ^ {2} = (2BE) ^ {2} = (2p) ^ {2} = 4p ^ {2}}$

Tím pádem ${ displaystyle q ^ {2} = 4p ^ {2}}$ nebo ${ displaystyle p = { frac {q} {2}}}$

Dále: ${ displaystyle CI + JK = x ^ {2} + p ^ {4} = q ^ {2}}$.

${ displaystyle x ^ {2} + { frac {q ^ {4}} {16}} = q ^ {2},}$

pak

${ displaystyle x ^ {2} = q ^ {2} - { frac {q ^ {4}} {16}}}$

Vyrovnejte výše uvedenou rovnici na obou stranách a vydělte 16:^[4]

${ displaystyle { frac {(x ^ {2}) ^ {2}} {16}} = { frac {(q ^ {2} - { frac {q ^ {4}} {16}}) ^ {2}} {16}} = součet _ {j = 0} ^ {2} (- 1) ^ {j} {2 vyberte j} { frac {q ^ {2 (2 + j)} } {16 ^ {j}}}}$

${ displaystyle { frac {x ^ {4}} {16}} = { frac {q ^ {4}} {16}} - { frac {q ^ {6}} {128}} + { frac {q ^ {8}} {4096}} {16}}$

A tak dále

${ displaystyle { frac {x ^ {2n}} {16 ^ {n-1}}} = součet _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} {n zvolit j} { frac {q ^ {2 (n + j)}} {16 ^ {n + j-1}}}}$.^[5]

Sečtěte následující dvě rovnice, které chcete vyloučit ${ displaystyle q ^ {4}}$ položky:

${ displaystyle x ^ {2} = q ^ {2} - { frac {q ^ {4}} {16}}}$

${ displaystyle { frac {x ^ {4}} {16}} = {{ frac {q ^ {4}} {16}} - { frac {2q ^ {6}} {16 ^ {2} }} + { frac {q ^ {8}} {4096}}} {16}}$

${ displaystyle x ^ {2} + { frac {x ^ {4}} {16}} = q ^ {2} - { frac {q ^ {6}} {128}} + { frac {q ^ {8}} {4096}}}$

${ displaystyle x ^ {2} + { frac {x ^ {4}} {16}} + { frac {2x ^ {6}} {16 ^ {2}}} = q ^ {2} - { frac {5q ^ {8}} {4096}} + { frac {3q ^ {10}} {32768}} - { frac {q ^ {12}} {524288}},}$(po vyloučení ${ displaystyle q ^ {6}}$ položka).

......................................

${ displaystyle { begin {aligned} & x ^ {2} + { frac {x ^ {4}} {16}} + { frac {2x ^ {6}} {16 ^ {2}}} + { frac {5x ^ {8}} {16 ^ {3}}} + { frac {14x ^ {10}} {16 ^ {4}}} + { frac {42x ^ {12}} {16 ^ {5}}} [10pt] {} & + { frac {132x ^ {14}} {16 ^ {6}}} + { frac {429x ^ {16}} {16 ^ {7}} } + { frac {1430x ^ {18}} {16 ^ {8}}} + { frac {4862x ^ {20}} {16 ^ {9}}} [10 bodů] & {} + { frac {16796x ^ {22}} {16 ^ {10}}} + { frac {58786x ^ {24}} {16 ^ {11}}} + { frac {208012x ^ {26}} {16 ^ { 12}}} [10 bodů] & {} + { frac {742900x ^ {28}} {16 ^ {13}}} + { frac {2674440x ^ {30}} {16 ^ {14}}} + { frac {9694845x ^ {32}} {16 ^ {15}}} [10 bodů] & {} + { frac {35357670x ^ {34}} {16 ^ {16}}} + { frac {129644790x ^ {36}} {16 ^ {17}}} [10 bodů] & {} + { frac {477638700x ^ {38}} {16 ^ {18}}} + { frac {1767263190x ^ { 40}} {16 ^ {19}}} + { frac {6564120420x ^ {42}} {16 ^ {20}}} [10pt] & = q ^ {2} + { frac {62985} { 8796093022208}} q ^ {24} end {zarovnáno}}}$

Koeficienty roztažnosti čitatelů: 1,1,2,5,14,42,132 ...... (viz obrázek II, spodní řádek původního obrázku Ming Antu, čte se zprava doleva) nejsou nikým jiným než Katalánská čísla „Ming Antu je první osobou v historii, která objevila katalánské číslo.^[6][7]

Tím pádem :

${ displaystyle q ^ {2} = součet _ {n = 1} ^ { infty} C_ {n} { frac {x ^ {2n}} {4 ^ {2n-2}}}}$ ^[8][9]

ve kterém ${ displaystyle C_ {n} = { frac {1} {n + 1}} {2n vyberte n}}$ je Katalánské číslo. Ming Antu propagoval použití rekurzních vztahů v čínské matematice^[10]

${ displaystyle C_ {n} = součet _ {k} (- 1) ^ {k} {nk vybrat k + 1} C_ {nk}}$

${ displaystyle protože BC: CG: GH = AB: BE: EF = 1: p: p ^ {2} = x: px: p ^ {2} x}$

${ displaystyle proto GH: = p ^ {2} x = ({ frac {q} {2}}) ^ {2} x = { frac {q ^ {2} x} {4}}}$

nahrazeno do ${ displaystyle BD = 2x-GH}$

Nakonec získal^[11]

${ displaystyle BD = 2x - { frac {x} {4}} q ^ {2}}$

${ displaystyle = 2x- sum _ {n = 1} ^ { infty} C_ {n} { frac {x ^ {2n + 1}} {4 ^ {2n-1}}}}$

Na obrázku 1 Úhel BAE = α, úhel BAC = 2α × x = BC = sinα × q = BL = 2BE = 4sin (α / 2) × BD = 2sin (2α) Ming Antu získán ${ displaystyle BD = 2x-x cdot BE ^ {2}}$

To je

${ displaystyle sin (2 alpha) = 2 sin alpha - součet _ {n = 1} ^ { infty} C_ {n} { frac {( sin alpha) ^ {2n + 1} } {4 ^ {n-1}}}}$

${ displaystyle = 2 sin ( alpha) - { frac {2 sin ( alpha) ^ {3}} {1+ cos ( alpha)}}}$

${ displaystyle q ^ {2} = BL ^ {2} = součet _ {n = 1} ^ { infty} C_ {n} { frac {x ^ {2n}} {4 ^ {2n-2} }}}$

Tj ${ displaystyle sin ({ frac { alpha} {2}}) ^ {2} = součet _ {n = 1} ^ { infty} C_ {n} { frac {(sin alpha) ^ {2n}} {4 ^ {2n}}}}$

Třísegmentový akord

Obr. 3. Geometrický model Ming Antu pro třísegmentový akord

Jak je znázorněno na obrázku 3, BE je akord celého oblouku, BC = CE = DE = an jsou tři oblouky se stejnými částmi. Poloměry AB = AC = AD = AE = 1. Nakreslete čáry BC, CD, DE, BD, EC; nechť BG = EH = BC, Bδ = Eα = BD, potom trojúhelník Cαβ = Dδγ; zatímco trojúhelník Cαβ je podobný trojúhelníku BδD.

Jako takový:

${ displaystyle AB: BC = BC: CG = CG: GF}$, ${ displaystyle BC: FG = BD: delta gamma}$

${ displaystyle 2BD = BE + delta alpha}$

${ displaystyle 2BD- delta gamma = BE + BC}$

${ displaystyle proto 2 krát BD- delta gamma -BC = BE}$

Nakonec získal

${ displaystyle BE = 3 krát a-a ^ {3}}$^[12][13]

Čtyřsegmentový akord

4 segmentový model akordu Ming Antu

Nechat ${ displaystyle y_ {4}}$ označuje délku hlavního akordu a nechte délku čtyřech stejných segmentových akordů = x,

${ displaystyle y_ {4} = 4 krát a - { frac {10 krát a ^ {3}} {4}} + { frac {14 krát a ^ {5}} {4 ^ {3} }} - { frac {12 krát a ^ {7}} {4 ^ {5}}}}$+......

${ displaystyle 4a-10 krát a ^ {3} / 4 + součet _ {n = 1} ^ { infty} (16C_ {n} -2C_ {n + 1}) krát { frac {a ^ {2n + 1}} {4 ^ {2n-1}}}}$.^[14]

Význam trigonometrie:

${ Displaystyle sin (4 krát alfa) = 4 krát sin ( alfa) -10 krát sin ^ {3} alfa}$${ displaystyle + sum _ {n = 1} ^ { infty} (16 krát C_ {n} -2C_ {n + 1}) krát { frac { sin ^ {2n + 3} ( alfa )} {4 ^ {n}}}}$.^[14]

Pětisegmentový akord

5 segmentový model akordu Ming Antu

${ displaystyle y_ {5} = 5a-5a ^ {3} + a ^ {5}}$

to je

${ displaystyle sin (5 alpha) = 5 sin ( alpha) -20 sin ^ {3} ( alpha) +16 sin ^ {5} ( alpha)}$^[15]。

Desetisegmentový akord

Ming Antu 10 segmentový akordový diagram

Od této chvíle Ming Antu přestal stavět geometrický model a provedl svůj výpočet čistou algebraickou manipulací s nekonečnými řadami.

Zdá se, že deset segmentů lze považovat za složený segment 5, přičemž každý segment se skládá ze dvou dílčích segmentů.

${ displaystyle proto y_ {10} = y_ {5} (y_ {2})}$

${ displaystyle y_ {10} (a) = 5 krát y_ {2} -5 krát (y_ {2}) ^ {3} + (y_ {2}) ^ {5}}$,

Vypočítal třetí a pátou sílu nekonečné řady ${ displaystyle y_ {2}}$ ve výše uvedené rovnici a získal:

${ displaystyle y_ {10} (a) = 10 krát a - { frac {165 krát a ^ {3}} {4}} + { frac {3003 krát a ^ {5}} {4 ^ {3}}} - { frac {21450 krát a ^ {7}} {4 ^ {5}}}}$+......^[16][17]

Akord se stovkami segmentů

Ming Antu 100 segmentový akordový diagram

Faksimile výpočtu 100 segmentového akordu Ming Antu

Akord sta segmentového oblouku lze považovat za složený 10 segmentů 10 subsegmentů, thussustutde ${ displaystyle a = y_ {10}}$ do ${ displaystyle y_ {10}}$, po manipulaci s nekonečnými sériemi získal:

${ displaystyle y_ {100} = y_ {10} (a = y_ {10})}$

${ displaystyle { begin {aligned} y_ {100} (a) = & 100 krát a-166650 krát { frac {a ^ {3}} {4}} + 333000030 krát { frac {a ^ { 5}} {4 krát 16}} & - 316350028500 krát { frac {a ^ {7}} {4 krát 16 ^ {2}}} + 17488840755750 krát { frac {a ^ {9 }} {4 krát 16 ^ {3}}} + ldots end {zarovnáno}}}$^[17][18]

Tisíc segmentový akord

${ displaystyle y_ {1000} = y_ {100} (y_ {10})}$

${ displaystyle y_ {1000} (a) = 1 000 krát a-1666666500 krát { frac {a ^ {3}} {4}} + 33333000000300 krát { frac {a ^ {5}} {4 krát 16}} - 3174492064314285000 { frac {a ^ {7}} {4 krát 16 ^ {2}}} +}$......^[17][19]

Desettisícový segmentový akord

${ displaystyle y_ {10000} = 10 000 krát a - { frac {166666665000 krát a ^ {3}} {4}} + { frac {33333330000000300 krát a ^ {5}} {4 ^ {3} }} +}$............^[12]

Když se počet segmentů blíží nekonečnu

Poté, co získal nekonečnou řadu pro n = 2,3,5,10,100,1000,10000 segmentů, Ming Antu pokračoval v řešení případu, když n se blíží nekonečnu.

y100, y1000 a y10000 lze přepsat jako:

${ displaystyle y100 = 100a - { frac {(100a) ^ {3}} {24.002400240024002400}} + { frac {(100a) ^ {5}} {24.024021859697730358 krát 80}} +}$..........

${ displaystyle y1000: = 1000a - { frac {(1000a) ^ {3}} {24.000024000024000024}} + { frac {(1000a) ^ {5}} {24.000240002184019680 krát 80}} +}$..............

${ displaystyle y10000: = 10 000a - { frac {(10 000a) ^ {3}} {24,000000240000002400}} + { frac {(10 000a) ^ {5}} {24,000002400000218400 krát 80}} +}$..................

Poznamenal, že když se n blíží k nekonečnu, jmenovatel 24,000000240000002400, 24,000002400000218400 × 80 se přiblíží 24 a 24 × 80, a když n -> nekonečno, na (100a, 1000a, 1000a) se stane délkou oblouku; proto^[20]

${ displaystyle chord = arc - { frac {arc ^ {3}} {4 krát 3!}} + { frac {arc ^ {5}} {4 ^ {2} krát 5!}} - { frac {arc ^ {7}} {4 ^ {3} krát 7!}} +}$.....

${ displaystyle = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1} times arc ^ {2 times n-1}} {(4 ^ {n -1} krát (2 krát n-1)!)}}}$

Ming Antu poté provedl nekonečnou sérii obrácení a vyjádřil oblouk, pokud jde o jeho akord

^[20]

${ displaystyle arc: = akord + { frac {akord ^ {3}} {24}} + { frac {3 krát akord ^ {5}} {640}} + { frac {5 krát akord ^ { 7}} {7168}} +}$............

Reference

• Luo Moderní čínský překlad Ming Antu Geyuan Milv Jifa, přeložil a komentoval Luo Jianjin, Inner Mongolia Education Press 1998 (明安 图 原著 罗 见 今 译注 《割 密 率 捷 法》 内蒙古 教育 出版社 Toto je jediný moderní čínský překlad knihy Ming Antu s podrobnou anotací s moderní matematické symboly). ISBN  7-5311-3584-1
• Yoshio Mikami Vývoj matematiky v Číně a Japonsku, Lipsko, 1912