Midysova věta - Midys theorem - Wikipedia

v matematika, Midyho věta, pojmenoval podle francouzština matematik E. Midy,^[1][2] je prohlášení o desítkové rozšíření z zlomky A/p kde p je primární a A/p má opakování desetinného místa expanze s dokonce období (sekvence A028416 v OEIS ). Pokud je doba desetinného vyjádření A/p je 2n, aby

${ displaystyle { frac {a} {p}} = 0. { overline {a_ {1} a_ {2} a_ {3} tečky a_ {n} a_ {n + 1} tečky a_ {2n} }}}$

pak číslice ve druhé polovině opakující se desetinné čárky jsou Doplněk 9s odpovídajících číslic v jeho první polovině. Jinými slovy,

${ displaystyle a_ {i} + a_ {i + n} = 9}$

${ displaystyle a_ {1} tečky a_ {n} + a_ {n + 1} tečky a_ {2n} = 10 ^ {n} -1.}$

Například,

${ displaystyle { frac {1} {13}} = 0. { overline {076923}} { text {and}} 076 + 923 = 999.}$

${ displaystyle { frac {1} {17}} = 0. { overline {0588235294117647}} { text {and}} 05882352 + 94117647 = 99999999.}$

Rozšířená Midyho věta

Li k je libovolný dělitel období desítkové expanze A/p (kde p je opět prvočíslo), pak lze Midyho teorém zobecnit následovně. The rozšířená Midyho věta^[3] uvádí, že pokud se opakující část desítkové expanze A/p je rozdělen do k-místná čísla, pak jejich součet je násobkem 10^k − 1.

Například,

${ displaystyle { frac {1} {19}} = 0. { overline {052631578947368421}}}$

má období 18. Rozdělení opakující se části na šestimístná čísla a jejich součet dává

${ displaystyle 052631 + 578947 + 368421 = 999999.}$

Podobně rozdělení opakující se části na 3místná čísla a jejich sčítání dává

${ Displaystyle 052 + 631 + 578 + 947 + 368 + 421 = 2997 = 3 krát 999.}$

Midyho věta v jiných základnách

Midyho věta a její rozšíření nezávisí na zvláštních vlastnostech desítkové expanze, ale fungují stejně dobře v každém základna b, pokud nahradíme 10^k - 1 s b^k - 1 a provést přidání v základně b.

Například v osmičkový

${ displaystyle { begin {aligned} & { frac {1} {19}} = 0. { overline {032745}} _ {8} [8pt] & 032_ {8} + 745_ {8} = 777_ {8} [8pt] & 03_ {8} + 27_ {8} + 45_ {8} = 77_ {8}. End {zarovnáno}}}$

v duodecimální (s použitím obrácených dvou a tří pro deset a jedenáct)

${ displaystyle { begin {aligned} & { frac {1} {19}} = 0. { overline {076 { mathcal {E}} 45}} _ {12} [8pt] & 076_ {12 } + { mathcal {E}} 45_ {12} = { mathcal {EEE}} _ {12} [8pt] & 07_ {12} +6 { mathcal {E}} _ {12} + 45_ { 12} = { mathcal {EE}} _ {12} end {zarovnáno}}}$

Důkaz Midyho věty

Krátké důkazy o Midyho teorému lze podat pomocí výsledků z teorie skupin. Je však také možné dokázat použití Midyho věty elementární algebra a modulární aritmetika:

Nechat p být hlavním a A/p být zlomek mezi 0 a 1. Předpokládejme expanzi A/p v základně b má období ℓ, tak

${ displaystyle { begin {aligned} & { frac {a} {p}} = [0. { overline {a_ {1} a_ {2} dots a _ { ell}}}] _ {b} [6pt] & Rightarrow { frac {a} {p}} b ^ { ell} = [a_ {1} a_ {2} dots a _ { ell}. { Overline {a_ {1} a_ {2} dots a _ { ell}}}] _ {b} [6pt] & Rightarrow { frac {a} {p}} b ^ { ell} = N + [0. { overline {a_ {1} a_ {2} dots a _ { ell}}}] _ {b} = N + { frac {a} {p}} [6pt] & Rightarrow { frac {a} { p}} = { frac {N} {b ^ { ell} -1}} end {zarovnáno}}}$

kde N je celé číslo, jehož rozšíření v základně b je řetězec A₁A₂...A_ℓ.

Všimněte si, že b ^ℓ - 1 je násobkem p protože (b ^ℓ − 1)A/p je celé číslo. Taky bⁿ-1 je ne násobek p pro jakoukoli hodnotu n méně než ℓ, protože jinak se opakující se období A/p v základně b bude menší než ℓ.

Nyní předpokládejme, že ℓ = hk. Pak b ^ℓ - 1 je násobkem b^k - 1. (Chcete-li to vidět, nahraďte X pro b^k; pak b^ℓ = X^h a X - 1 je faktorem X^h - 1.) Řekni b ^ℓ − 1 = m(b^k - 1), takže

${ displaystyle { frac {a} {p}} = { frac {N} {m (b ^ {k} -1)}}.}$

Ale b ^ℓ - 1 je násobkem p; b^k - 1 je ne násobek p (protože k je méně než ℓ ); a p je prvočíslo; tak m musí být násobkem p a

${ displaystyle { frac {am} {p}} = { frac {N} {b ^ {k} -1}}}$

je celé číslo. Jinými slovy,

${ displaystyle N equiv 0 { pmod {b ^ {k} -1}}.}$

Nyní rozdělte řetězec A₁A₂...A_ℓ do h stejné části délky k, a nechte je reprezentovat celá čísla N₀...N_h − 1 v základně b, aby

${ displaystyle { begin {aligned} N_ {h-1} & = [a_ {1} dots a_ {k}] _ {b} N_ {h-2} & = [a_ {k + 1} dots a_ {2k}] _ {b} & {} vdots N_ {0} & = [a_ {l-k + 1} dots a_ {l}] _ {b} end {zarovnaný}}}$

Dokázat Midyho rozšířenou větu v základně b musíme ukázat, že součet h celá čísla N_i je násobkem b^k − 1.

Od té doby b^k je shodný s 1 modulo b^k - 1, libovolná síla b^k bude také shodný s 1 modulo b^k - 1. Takže

${ displaystyle N = suma _ {i = 0} ^ {h-1} N_ {i} b ^ {ik} = součet _ {i = 0} ^ {h-1} N_ {i} (b ^ {k}) ^ {i}}$

${ displaystyle Rightarrow N equiv sum _ {i = 0} ^ {h-1} N_ {i} { pmod {b ^ {k} -1}}}$

${ displaystyle Rightarrow sum _ {i = 0} ^ {h-1} N_ {i} equiv 0 { pmod {b ^ {k} -1}}}$

což dokazuje Midyho rozšířenou větu v základně b.

Chcete-li dokázat původní Midyho větu, vezměte speciální případ kde h = 2. Všimněte si, že N₀ a N₁ jsou oba reprezentovány řetězci k číslice v základně b takže oba uspokojí

${ displaystyle 0 leq N_ {i} leq b ^ {k} -1.}$

N₀ a N₁ nemůže se rovnat 0 (jinak A/p = 0) a nemohou se oba rovnat b^k - 1 (jinak A/p = 1), takže

${ displaystyle 0$

a od té doby N₀ + N₁ je násobkem b^k - 1, z toho vyplývá

${ displaystyle N_ {0} + N_ {1} = b ^ {k} -1.}$

Důsledek

Z výše uvedeného

${ displaystyle { frac {am} {p}}}$ je celé číslo

Tím pádem ${ displaystyle m equiv 0 { pmod {p}}}$

A tak pro ${ displaystyle k = { frac { ell} {2}}}$

${ displaystyle b ^ { ell / 2} +1 equiv 0 { pmod {p}}}$

Pro ${ displaystyle k = { frac { ell} {3}}}$ a je celé číslo

${ displaystyle b ^ {2 ell / 3} + b ^ { ell / 3} +1 equiv 0 { pmod {p}}}$

a tak dále.

Poznámky

Reference

• Rademacher, H. a Toeplitz, O. Požitek z matematiky: Výběr z matematiky pro amatéry. Princeton, NJ: Princeton University Press, str. 158–160, 1957.
• E. Midy, „De Quelques Propriétés des Nombres et des Fractions Décimales Périodiques“. College of Nantes, Francie: 1836.
• Ross, Kenneth A. Msgstr "Opakující se desetinná místa: bodka". Matematika. Mag. 83 (2010), č. 1, 33–45.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Midyho věta“. MathWorld.