Kinetika Michaelis – Menten – Monod - Michaelis–Menten–Monod kinetics

Pro Michaelis – Menten – Monod (MMM) kinetika je zamýšleno spojení enzymem řízené chemické reakce Michaelis – Menten typ^[1] s Monod růst organismů, které provádějí chemickou reakci.^[2] Reakci řízenou enzymy lze označit jako vazbu enzymu E se substrátem S za vzniku meziproduktu C, který uvolňuje reakční produkt P a nezměněný enzym E. Během metabolické spotřeby S se vyrábí biomasa B, který syntetizuje enzym, čímž se vrací zpět k chemické reakci. Tyto dva procesy lze vyjádřit jako

{ displaystyle { ce {{S} + {E} <=> [{k} _ {1}] [{k} _ {- 1}] {C} -> [{k}] {P} + {E}}}}

(1)

{ displaystyle { ce {{S} -> [{Y}] {B} -> [{z}] {E}}}}

(2)

kde ${ displaystyle k_ {1}}$ a ${ displaystyle k _ {- 1}}$ jsou konstantní rychlostní konstanty dopředu a dozadu, ${ displaystyle k}$ je konstanta reakční rychlosti pro uvolňování produktu, ${ displaystyle Y}$ je koeficient výtěžku biomasy a ${ displaystyle z}$ je koeficient výtěžku enzymu.

Přechodná kinetika

Kinetické rovnice popisující výše uvedené reakce lze odvodit z GEBIK rovnice^[3] a jsou psány jako

{ displaystyle { frac {{ text {d}} [S]} {{ text {d}} t}} = - k_ {1} [S] [E] + k _ {- 1} [C] ,}

(3a)

{ displaystyle { frac {{ text {d}} [C]} {{ text {d}} t}} = k_ {1} [S] [E] -k _ {- 1} [C] - k [C],}

(3b)

{ displaystyle { frac {{ text {d}} [P]} {{ text {d}} t}} = k [C],}

(3c)

{ displaystyle { frac {{ text {d}} [B]} {{ text {d}} t}} = - Y { frac {{ text {d}} [S]} {{ text {d}} t}} - mu _ {B} [B],}

(3d)

{ displaystyle { frac {{ text {d}} [E]} {{ text {d}} t}} = - zY { frac {{ text {d}} [S]} {{ text {d}} t}} - { frac {{ text {d}} [C]} {{ text {d}} t}} - mu _ {E} [E],}

(3e)

kde ${ displaystyle mu _ {B}}$ je úmrtnost biomasy a ${ displaystyle mu _ {E}}$ je rychlost degradace enzymu. Tyto rovnice popisují úplnou přechodnou kinetiku, ale nelze je normálně omezit na experimenty, protože komplex C je obtížné měřit a neexistuje jasná shoda o tom, zda skutečně existuje.

Kinetika kvazi ustáleného stavu

Rovnice 3 lze zjednodušit pomocí aproximace kvazi-ustáleného stavu (QSS), tj. Pro ${ displaystyle { frac {{ text {d}} [C]} {{ text {d}} t}} = 0}$ ;^[4] pod QSS se stávají kinetické rovnice popisující problém MMM

{ displaystyle { frac {{ text {d}} [S]} {{ text {d}} t}} = - k [E] { frac {[S]} {K + [S]}} ,}

(4a)

{ displaystyle { frac {{ text {d}} [P]} {{ text {d}} t}} = - { frac {{ text {d}} [S]} {{ text {d}} t}},}

(4b)

{ displaystyle { frac {{ text {d}} [B]} {{ text {d}} t}} = - Y { frac {{ text {d}} [S]} {{ text {d}} t}} - mu _ {B} [B],}

(4c)

{ displaystyle { frac {{ text {d}} [E]} {{ text {d}} t}} = - zY { frac {{ text {d}} [S]} {{ text {d}} t}} - mu _ {E} [E],}

(4d)

kde ${ displaystyle K = (k _ {- 1} + k) / k_ {1}}$ je Michaelis – Mentenova konstanta (také známý jako koncentrace a afinita napůl nasycení).

Implicitní analytické řešení

Pokud existuje hypotéza, že enzym je produkován rychlostí úměrnou produkci biomasy a degraduje rychlostí úměrnou úmrtnosti biomasy, pak rovnice. 4 lze přepsat jako

{ displaystyle { frac {{ text {d}} [P]} {{ text {d}} t}} = k [E] { frac {[S]} {K + [S]}}, }

(4a)

{ displaystyle { frac {{ text {d}} [S]} {{ text {d}} t}} = - { frac {{ text {d}} [P]} {{ text {d}} t}},}

(4b)

{ displaystyle { frac {{ text {d}} [B]} {{ text {d}} t}} = Y { frac {{ text {d}} [P]} {{ text {d}} t}} - mu _ {B} [B],}

(4c)

{ displaystyle { frac {{ text {d}} [E]} {{ text {d}} t}} = - z { frac {{ text {d}} [B]} {{ textová zpráva {d}} t}},}

(4d)

kde ${ displaystyle S}$ , ${ displaystyle P}$ , ${ displaystyle E}$ , ${ displaystyle B}$ jsou explicitní funkcí času ${ displaystyle t}$ . Všimněte si, že ekv. (4b) a (4d) jsou lineárně závislé na ekv. (4a) a (4c), což jsou dvě diferenciální rovnice, které lze použít k řešení problému MMM. Implicitní analytické řešení^[5] lze získat, pokud ${ displaystyle P}$ je vybrána jako nezávislá proměnná a ${ displaystyle t (P)}$ , ${ displaystyle S (P)}$ , ${ displaystyle E (P)}$ a ${ displaystyle B (P}$ ) jsou přepsány jako funkce ${ displaystyle P}$ tak získat

{ displaystyle { frac {{ text {d}} t (P)} {{ text {d}} P}} = left (kzB (P) { frac {S_ {0} -P} { K + S_ {0} -P}} vpravo) ^ {- 1},}

(5a)

{ displaystyle { frac {{ text {d}} B (P)} {{ text {d}} P}} = Y- mu _ {B} B (P) { frac {{ text {d}} t (P)} {{ text {d}} P}},}

(5b)

kde ${ displaystyle S (t)}$ byl nahrazen ${ displaystyle S (P) = S_ {0} -P}$ podle hmotnostní bilance ${ displaystyle S_ {0} + P_ {0} = S + P}$ , s počáteční hodnotou ${ displaystyle S_ {0} = S (P)}$ když ${ displaystyle P = P_ {0} = 0}$ , a kde ${ displaystyle E (t)}$ byl nahrazen ${ displaystyle zB (P)}$ podle lineárního vztahu ${ displaystyle E = zB}$ vyjádřeno ekv. (4d). Analytické řešení ekv. (5b) je

{ displaystyle B (P) = B_ {0} + vlevo (Y - { frac { mu _ {B}} {kz}} vpravo) P + { frac { mu _ {B} K} { kz}} ln left (1 - { frac {P} {S_ {0}}} right),}

(6)

s počáteční koncentrací biomasy ${ displaystyle B_ {0} = B (P)}$ když ${ displaystyle P = 0}$ . Aby se zabránilo řešení transcendentální funkce, polynomiální Taylorova expanze do druhého řádu ${ displaystyle P}$ se používá pro ${ displaystyle B (P)}$ v ekv. (6) jako

{ displaystyle B (P) = B_ {0} + vlevo (Y - { frac { mu _ {B}} {zk}} - { frac { mu _ {B} K} {zkS_ {0 }}} vpravo) P - { frac { mu _ {B} K} {2zkS_ {0} ^ {2}}} P ^ {2} + O (P ^ {3})}

(7)

Nahrazení ekv. (7) do rovnice (5a} a řešení pro ${ displaystyle t (P)}$ s počáteční hodnotou ${ displaystyle t (P = 0) = 0}$ , získá se implicitní řešení pro ${ displaystyle t (P)}$ tak jako

{ displaystyle t (P) = - { frac {F '} {2}} ln left ({ frac {{ sqrt {Q}} + 2HP + M} {{ sqrt {Q}} - 2HP-M}} right) - { frac {K} {2N '}} ln left ({ frac {(S_ {0} -P) ^ {2}} {HP ^ {2} + MP + N}} vpravo) + { frac {F '} {2}} ln vlevo ({ frac {{ sqrt {Q}} + M} {{ sqrt {Q}} - M}} right) - { frac {K} {2N '}} ln left ({ frac {S_ {0} ^ {2}} {N}} right).}

(8)

s konstantami

{ displaystyle H = - mu _ {B} K / 2S_ {0} ^ {2} <0,}

(9a)

{ displaystyle M = kzY- mu _ {B} - { frac { mu _ {B} K} {S_ {0}}}, N = kzB_ {0}> 0,}

(9b)

{ displaystyle M '= - (M + 2HS_ {0}), N' = N + MS_ {0} + HS_ {0} ^ {2} neq 0,}

(9c)

{ displaystyle -Q = 4HN-M ^ {2} neq 0,}

(9d)

{ displaystyle F = { frac {2} { sqrt {-Q}}} - { frac {KM '} {N' { sqrt {-Q}}}}, F '= { frac {2 } { sqrt {Q}}} - { frac {KM '} {N' { sqrt {Q}}}},}

(9e)

Pro jakoukoli zvolenou hodnotu ${ displaystyle P}$ lze koncentraci biomasy vypočítat pomocí ekv. (7) najednou ${ displaystyle t (P)}$ dané ekv. (8). Odpovídající hodnoty ${ displaystyle S (P) = S_ {0} -P}$ a ${ displaystyle E (P) = zB (P)}$ lze určit pomocí výše uvedených hmotnostních bilancí.

Viz také

Reference

^ Michaelis, L .; Menten, M. L. (1913). „Die Kinetik der Invertinwirkung“. Biochem Z. 49: 333–369
^ Monod J. (1949) Růst bakteriálních kultur. Annu. Rev. Mikrobiální. 3, 371–394
^ Maggi F. a W. J. Riley, (2010), Matematické zpracování izotopologu a speciace a frakcionace izotopomerů v biochemické kinetice, Geochim. Cosmochim. Acta, doi:10.1016 / j.gca.2009.12.021
^ Briggs G.E .; Haldane, J.B.S., „Poznámka o kinetice působení enzymů“, textit {Biochem J.} textbf {1925}, textit {19 (2)}, 338–339.
^ Maggi F. a La Cecilia D., (2016), „Implicitní analytické řešení kinetiky Michaelis – Menten – Monod“, American Chemical Society, ACS Omega 2016, 1, 894−898, doi:10.1021 / acsomega.6b00174

[1] Michaelis, L .; Menten, M. L. (1913). „Die Kinetik der Invertinwirkung“. Biochem Z. 49: 333–369

[2] Monod J. (1949) Růst bakteriálních kultur. Annu. Rev. Mikrobiální. 3, 371–394

[3] Maggi F. a W. J. Riley, (2010), Matematické zpracování izotopologu a speciace a frakcionace izotopomerů v biochemické kinetice, Geochim. Cosmochim. Acta, doi:10.1016 / j.gca.2009.12.021

[4] Briggs G.E .; Haldane, J.B.S., „Poznámka o kinetice působení enzymů“, textit {Biochem J.} textbf {1925}, textit {19 (2)}, 338–339.

[5] Maggi F. a La Cecilia D., (2016), „Implicitní analytické řešení kinetiky Michaelis – Menten – Monod“, American Chemical Society, ACS Omega 2016, 1, 894−898, doi:10.1021 / acsomega.6b00174

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]