Přechodná frakcionace kinetických izotopů - Transient kinetic isotope fractionation

Přechodné kinetické izotopové efekty (nebo frakcionace) nastat, když reakce vedoucí k frakcionaci izotopů nenasleduje čistě kinetika prvního řádu a proto nelze izotopové účinky popsat klasicky rovnovážná frakcionace rovnice nebo s ustáleným stavem kinetická frakcionace rovnice (známé také jako Rayleighova rovnice).^[1] V těchto případech obecné rovnice pro kinetiku biochemických izotopů (GEBIK) a obecné rovnice pro frakcionaci biochemických izotopů (GEBIF) může být použito.

Rovnice GEBIK a GEBIF jsou nejobecnějším přístupem k popisu izotopových účinků ve všech chemikálie, katalytická reakce a biochemické reakce, protože mohou popsat izotopové účinky v rovnovážných reakcích, kinetických chemických reakcích a kinetických biochemických reakcích.^[2] V posledních dvou případech mohou popsat stacionární i nestacionární frakcionaci (tj. Variabilní a inverzní frakcionaci). Obecně platí, že izotopové účinky závisí na počtu reaktantů a na počtu kombinací vyplývajících z počtu substitucí ve všech reaktantech a produktech. Přesný popis izotopových účinků však závisí také na konkrétním zákon o sazbách používá se k popisu chemické nebo biochemické reakce, která vyvolává izotopové účinky. Normálně, bez ohledu na to, zda je reakce čistě chemická nebo zda zahrnuje enzym biologické povahy, rovnice použité k popisu izotopových účinků vycházejí z kinetiky prvního řádu. Tento přístup systematicky vede k izotopovým účinkům, které lze popsat pomocí Rayleighovy rovnice. V tomto případě budou izotopové účinky vždy vyjádřeny jako konstanta, a proto nebudou moci popsat izotopové účinky v reakcích, kde je frakcionace a obohacování v průběhu reakce proměnlivé nebo inverzní. Většina chemických reakcí nenásleduje kinetiku prvního řádu; ani biochemické reakce nelze normálně popsat kinetikou prvního řádu. Pro správný popis izotopových účinků v chemických nebo biochemických reakcích je třeba použít různé přístupy, jako je použití Michaelis – Menten reakční řád (pro chemické reakce) nebo spojené reakční řády Michaelis – Menten a Monod (pro biochemické reakce). Avšak na rozdíl od kinetiky Michaelis – Menten jsou rovnice GEBIK a GEBIF řešeny na základě hypotézy nestabilního stavu. Tato vlastnost umožňuje GEBIK a GEBIF zachytit přechodný izotopové účinky.

Matematický popis přechodných kinetických izotopových jevů

Zde jsou uvedeny rovnice GEBIK a GEBIF.

Zápis

Rovnice GEBIK a GEBIF popisují dynamiku následujících stavových proměnných

S: koncentrace substrátu
P: koncentrace produktu
E: koncentrace enzymu
C: komplexní koncentrace
B: koncentrace biomasy

S i P obsahují alespoň jednu izotopovou expresi sledovacího atomu. Pokud je například uhlíkový prvek použit jako stopovací látka, obsahuje S i P alespoň jeden atom C, který se může jevit jako ${ displaystyle { ce {^ {12} C}}}$ a ${ displaystyle { ce {^ {13} C}}}$ . Izotopová exprese v molekule je

{ displaystyle _ {a} ^ {b} { ce {S}}}

kde ${ displaystyle _ {a}}$ je počet sledovacích atomů v S, zatímco ${ displaystyle ^ {b}}$ je počet izotopových substitucí ve stejné molekule. Kondice ${ displaystyle 0 leq b leq a}$ musí být spokojen. Například ${ displaystyle { ce {N2}}}$ produkt, ve kterém dochází k 1 izotopové substituci (např. ${ displaystyle { ce {^ {15} N ^ {14} N}}}$ ) bude popsán uživatelem ${ displaystyle { ce {^ 1_2P}}}$ .

Substráty a produkty se objevují v chemické reakci se specifickými stechiometrickými koeficienty. Když chemické reakce obsahují kombinace reaktantů a produktů s různými izotopovými výrazy, jsou stechiometrické koeficienty funkcemi čísla substituce izotopů. Li ${ displaystyle x_ {b}}$ a ${ displaystyle y_ {d}}$ jsou stechiometrický koeficient pro ${ displaystyle _ {a} ^ {b} { ce {S}}}$ substrát a ${ displaystyle _ {c} ^ {d} { ce {P}}}$ produktu má reakce formu

{ displaystyle sum _ {b = 0} ^ {a} x_ {b} {} _ {a} ^ {b} { ce {S ->}} sum _ {d = 0} ^ {c} y_ {d} {} _ {c} ^ {d} { ce {P}}.}

Například v reakci ${ displaystyle { ce {{^ {14} NO3 ^ {-}} + ^ {15} NO3 ^ {-} -> {^ {14} {N}} {^ {15} {NO}}}} }$ , notace je ${ displaystyle { ce {{^ {0} _ {1} S} + {^ {1} _ {1} S} -> {^ {1} _ {2} P}}}}$ s ${ displaystyle x_ {0} = x_ {1} = 1}$ pro oba izotopologické reaktanty stejného substrátu se substitučním číslem ${ displaystyle b = 0}$ a ${ displaystyle b = 1}$ , a s ${ displaystyle y_ {1} = 1}$ pro ${ displaystyle { ce {^ 1_2P}}}$ a ${ displaystyle y_ {0} = y_ {2} = 0}$ protože reakce nezahrnuje produkci ${ displaystyle { ce {^ {0} _ {2} P = {^ {14} N2O}}}}$ a ${ displaystyle { ce {^ {2} _ {2} P = {^ {15} N2O}}}}$ .

U izotopomerů se místo substituce bere v úvahu jako ${ displaystyle _ {a} ^ {b} { ce {S}} ^ { beta}}$ a ${ displaystyle _ {a} ^ {b} { ce {S}} ^ { gamma}}$ , kde ${ displaystyle beta}$ a ${ displaystyle gamma}$ označují různé výrazy stejného izotopologa ${ displaystyle _ {a} ^ {b} { ce {S}}}$ . Izotopomery existují pouze tehdy, když ${ displaystyle 1 leq b$ a ${ displaystyle a geq 2}$ . Místo substituce musí být specificky definováno v závislosti na počtu sledovacích atomů $A$ , počet substitucí $b$ a struktura molekuly. U multiatomických molekul, které jsou symetrické vzhledem k poloze stopovače, není třeba specifikovat substituční polohu, když ${ displaystyle b = 1}$ . Například jedna substituce deuterium ${ displaystyle { ce {D = {^ {2} H}}}}$ v symetrické molekule metanu ${ displaystyle { ce {CDH3}}}$ nevyžaduje použití správného horního indexu. V případě, že ${ displaystyle b = 2}$ , je třeba zadat místo substituce, zatímco pro ${ displaystyle { ce {CHD3}}}$ a ${ displaystyle { ce {CD4}}}$ není to nutné. Například dvě substituce D v ${ displaystyle { ce {CD2H2}}}$ může nastat v sousedních nebo nesousedících místech. Pomocí této notace reakce ${ displaystyle { ce {{CD2H2} + {2O2} -> {H2O} + {D2O} + {CO2},}}}$ lze psát jako

{ displaystyle { ce {{^ {2} _ {4} S} ^ { beta} -> {^ {0} _ {2} P} + {^ {2} _ {2} P}}} }

kde ${ displaystyle beta}$ v ${ displaystyle { ce {{^ {2} _ {4} S} ^ { beta}}}}$ definuje pouze jednu ze dvou forem metanu (buď se sousedními nebo nesousedícími atomy D). Umístění D ve dvou molekulách izotopologu vody produkovaných na pravé straně reakce nebylo uvedeno, protože D je při nasycení přítomný pouze v jedné molekule vody a protože molekula vody je symetrická. Pro asymetrické a multiatomické molekuly s ${ displaystyle 1 leq b$ a ${ displaystyle a geq 2}$ , je vždy vyžadována definice umístění substituce. Například izotopomery (asymetrické) molekuly oxidu dusného ${ displaystyle { ce {N2O}}}$ jsou ${ displaystyle { ce {^ {1} _ {2} S ^ { beta} = {^ {15} N} {^ {14} NE}}}}$ a ${ displaystyle { ce {^ {1} _ {2} S ^ { gamma} = {^ {14} N} {^ {15} NE}}}}$ .

Reakce asymetrických izotopomerů lze zapisovat pomocí rozdělovacího koeficientu $u$ tak jako

{ displaystyle sum _ {b = 0} ^ {a} sum _ { beta} x_ {b} {_ {a} ^ {b}} { ce {S}} ^ { beta} { ce {->}} sum _ {d = 0} ^ {c} sum _ { gamma} u _ { gamma} y_ {d} {_ {c} ^ {d}} { ce { P}} ^ { gamma},}

kde ${ displaystyle u _ { gamma} = 1}$ . Například za použití N izotopových stopovacích látek reagují izotopomerové reakce

{ displaystyle { ce {{^ {14} NO3 ^ {-}} + {^ {15} NO3 ^ {-}} -> {^ {14} N} {^ {15} NO},}}}

{ displaystyle { ce {{^ {14} NO3 ^ {-}} + {^ {15} NO3 ^ {-}} -> {^ {15} N} {^ {14} NO},}}}

lze zapsat jako jednu reakci, ve které je každý izotopomerový produkt vynásoben svým rozdělovacím koeficientem jako

{ displaystyle { ce {{^ {0} _ {1} S} + {^ {1} _ {1} S} -> { mathit {u}} _ { beta} {^ {1} _ {2} P} ^ { beta} + { mathit {u}} _ { gamma} {^ {1} _ {2} P} ^ { gamma},}}}

s ${ displaystyle u _ { gamma} = 1-u _ { beta}}$ . Obecněji se sledovací prvek nemusí nutně vyskytovat pouze v jednom substrátu a v jednom produktu. Li ${ displaystyle n _ {{ ce {S}}}}$ substráty reagují uvolňování ${ displaystyle n _ {{ ce {P}}}}$ produkty, z nichž každý má izotopovou expresi sledovacího prvku, pak je zobecněná reakční notace

{ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n_ {S}} sum _ {b_ {j} = 0} ^ {a_ {j}} sum _ { beta _ {j}} x_ {b_ {j}} {_ {a_ {j}} ^ {b_ {j}}} { ce {S}} _ {j} ^ { beta _ {j}} { ce {->}} součet _ {h = 1} ^ {n_ {P}} součet _ {d_ {h} = 0} ^ {c_ {h}} součet _ { gamma _ {h}} u _ { gamma _ {h }} y_ {d_ {h}} {_ {c_ {h}} ^ {d_ {h}}} { ce {P}} _ {h} ^ { gamma _ {h}}.}

(1)

Zvažte například ${ displaystyle { ce {^ {16} O}}}$ a ${ displaystyle { ce {^ {18} O}}}$ stopovací látky v reakci

{ displaystyle { ce {{CH2 ^ {18} O} + {^ {16} O2} -> {H2 ^ {16} O} + C ^ {18} O ^ {16} O}}}

V tomto případě lze reakci zapsat jako

{ displaystyle { ce {{^ {1} _ {1} S1} + {^ {0} _ {2} S2} -> {^ {0} _ {1} P1} + {^ {1} _ {2} P2}}}}

se dvěma substráty a dvěma produkty bez označení místa substituce, protože všechny molekuly jsou symetrické.

Biochemické kinetické reakce typu (1) jsou často katalytické reakce, při nichž jeden nebo více substrátů, ${ displaystyle { ce {S}} _ {j}}$ váže se na enzym E za vzniku reverzibilního aktivovaného komplexu C, který uvolňuje jeden nebo více produktů, ${ displaystyle { ce {P}} _ {h}}$ a volný nezměněný enzym. Tyto reakce patří do typu reakcí, které lze popsat Michaelis – Menten kinetika. Použití tohoto přístupu k výrazům izotopologů substrátu a produktu a izotopomerů a za předepsaných stechiometrických vztahů mezi nimi vede k obecným reakcím typu Michaelis – Menten

{ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n _ {{ ce {S}}}} sum _ {b_ {ji} = 0} ^ {a_ {ji}} sum _ { beta _ { ji}} x_ {b_ {ji}} {_ {a_ {j}} ^ {b_ {ji}}} { ce {S}} _ {j} ^ { beta _ {ji}} + { ce {E <=> [{k} _ {1 (i)}] [{k} _ {2 (i)}]}} { ce {C}} _ ​​{i} { ce {-> [ {k} _ {3 (i)}]}} sum _ {h = 1} ^ {n _ {{ ce {P}}}} sum _ {d_ {hi} = 0} ^ {c_ {hi }} sum _ { gamma _ {hi}} u _ { gamma _ {hi}} y_ {d_ {hi}} {_ {c_ {h}} ^ {d_ {hi}}} { ce { P}} _ {h} ^ { gamma _ {hi}} + { ce {E}}}

(2)

s indexem ${ displaystyle i = 1, ..., m}$ , kde $m$ závisí na počtu možných atomových kombinací mezi všemi izotopology a izotopomery. Tady, ${ displaystyle k_ {1 (i)}}$ , ${ displaystyle k_ {2 (i)}}$ , a ${ displaystyle k_ {3 (i)}}$ jsou rychlostní konstanty indexované pro každou z m reakce.

Příklad

Reakce

{ displaystyle { ce {2 ^ {14} NO3 ^ {-} -> {^ {14} N2O}}}}

{ displaystyle { ce {{^ {14} NO3 ^ {-}} + {^ {15} NO3 ^ {-}} -> {^ {14} N} {^ {15} NO}}}}

{ displaystyle { ce {{^ {14} NO3 ^ {-}} + {^ {15} NO3 ^ {-}} -> {^ {15} N} {^ {14} NO}}}}

{ displaystyle { ce {2 ^ {15} NO3 ^ {-} -> {^ {15} N2O}}}}

lze psát jako

{ displaystyle { ce {{2_ {1} ^ {0} S} + {E} <=> [{k} _ {1 (1)}] [{k} _ {2 (1)}] { C1} -> [{k} _ {3 (1)}] {^ {0} _ {2} P} + {E}}}}

{ displaystyle { ce {{^ {0} _ {1} S} + {^ {1} _ {1} S} + {E} <=> [{k} _ {1 (2)}]] [ {k} _ {2 (2)}] {C2} -> [{k} _ {3 (2)}] { mathit {u}} _ { beta} {^ {1} _ {2} P } ^ { beta} + { mathit {u}} _ { gamma} {^ {1} _ {2} P} ^ { gamma} + {E}}}}

{ displaystyle { ce {{2_ {1} ^ {1} S} + {E} <=> [{k} _ {1 (3)}] [{k} _ {2 (3)}] { C3} -> [{k} _ {3 (3)}] {^ {2} _ {2} P} + {E}}}}

Hmotnostní bilance izotopu

Následující hmotnostní bilance izotopů musí platit

{ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n_ {S}} sum _ {b_ {j} = 0} ^ {a_ {j}} sum _ { beta _ {j}} x_ {b_ {j}} a_ {j} = sum _ {h = 1} ^ {n_ {P}} sum _ {d_ {h} = 0} ^ {c_ {h}} sum _ { gamma _ {h}} u _ { gamma _ {h}} y_ {d_ {h}} c_ {h},}

{ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n_ {S}} sum _ {b_ {j} = 0} ^ {a_ {j}} sum _ { beta _ {j}} x_ {b_ {j}} b_ {j} = sum _ {h = 1} ^ {n_ {P}} sum _ {d_ {h} = 0} ^ {c_ {h}} sum _ { gamma _ {h}} u _ { gamma _ {h}} y_ {d_ {h}} d_ {h}.}

Obecné rovnice pro kinetiku biochemických izotopů (GEBIK)

Řešit koncentraci všech složek vyskytujících se v jakékoli obecné biochemické reakci jako v (2), kinetika Michaelis – Menten pro enzymatickou reakci je spojena s kinetikou Monod pro dynamiku biomasy. Nejobecnějším případem je předpokládat, že koncentrace enzymu je úměrná koncentraci biomasy a že reakce není v kvazistálém stavu. Tyto hypotézy vedou k následujícímu systému rovnic

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} [{^ {b_ {j}} _ {a_ {j}}} { ce {S}} _ {j} ^ { beta _ {j} }]} {{ ce {d}} t}} = součet _ {i} x_ {b_ {ji}} [{k} _ {2 (i)} C_ {i} - {k} _ {1 (i)} {E { overline {S}}} _ {i}]}

(3a)

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} C_ {i}} {{ ce {d}} t}} = {k} _ {1 (i)} {E { overline {S}} } _ {i} - [{k} _ {2 (i)} + {k} _ {3 (i)}] C_ {i}}

(3b)

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} [{^ {d_ {h}} _ {c_ {h}}} { ce {P}} _ {h} ^ { gamma _ {h} }]} {{ ce {d}} t}} = sum _ {i} u _ { gamma _ {hi}} y_ {d_ {hi}} {k} _ {3 (i)} C_ {i }}

(3c)

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} E} {{ ce {d}} t}} = z { frac {{ ce {d}} B} {{ ce {d}} t}} - sum _ {i} { frac {{ ce {d}} C_ {i}} {{ ce {d}} t}}}

(3d)

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} B} {{ ce {d}} t}} = Y sum _ {h} sum _ {d_ {h}} sum _ { gamma _ {h}} { frac {{ ce {d}} [{^ {d_ {h}} _ {c_ {h}}} { ce {P}} _ {h} ^ { gamma _ { h}}]} {{ ce {d}} t}} - mu B}

(3e)

s ${ displaystyle i = 1, ..., m}$ , a kde ${ displaystyle { overline {S}} _ {i}}$ je koncentrace nejvíce omezujícího substrátu v každé reakci i, z je koeficient výtěžku enzymu, Y je koeficient výtěžku vyjadřující zisk biomasy na jednotku uvolněného produktu a ${ displaystyle mu}$ je míra úmrtnosti biomasy.^[3]

Obecné rovnice pro frakcionaci biochemických izotopů (GEBIF)

Izotopové složení složek v biochemickém systému lze definovat různými způsoby v závislosti na definici izotopového poměru. Zde jsou popsány tři definice:

Izotopový poměr - definice 1

Izotopový poměr vzhledem ke každé složce v systému, každá se svým izotopovým výrazem, s ohledem na koncentraci svého nejhojnějšího izotopologu

{ displaystyle R_ {S_ {b_ {j}, beta _ {j}}} ^ {**} (t) = { frac {{^ {b_ {j}} _ {a_ {j}}} S_ {j} ^ { beta _ {j}} (t)} {^ {0} _ {a_ {j}} S_ {j} (t)}}}

{ displaystyle R_ {P_ {d_ {h}, gamma _ {h}}} ^ {**} (t) = { frac {{^ {d_ {h}} _ {c_ {h}}} P_ {h} ^ { gamma _ {h}} (t)} {^ {0} _ {c_ {h}} P_ {h} (t)}}}

Izotopový poměr - definice 2

Izotopový poměr vzhledem k hmotnosti sledovacího prvku v každé složce;

{ displaystyle R_ {S_ {j}} ^ {*} (t) = { frac { displaystyle součet _ {b_ {j} neq 0} součet _ { beta _ {j}} { frac {b_ {j} q} {^ {b_ {j}} M_ {S_ {j}}}} {^ {b_ {j}} _ {a_ {j}}} S_ {j} ^ { beta _ {j}} (t)} { displaystyle sum _ {b_ {j} neq a_ {j}} sum _ { beta _ {j}} { frac {(a_ {j} -b_ {j }) p} {^ {b_ {j}} M_ {S_ {j}}}} {^ {b_ {j}} _ {a_ {j}}} S_ {j} ^ { beta _ {j} } (t)}}}

{ displaystyle R_ {P_ {h}} ^ {*} (t) = { frac { displaystyle sum _ {d_ {h} neq 0} sum _ { gamma _ {h}} { frac {d_ {h} q} {^ {d_ {h}} M_ {P_ {h}}}} {^ {d_ {h}} _ {c_ {h}}} P_ {h} ^ { gamma _ {h}} (t)} { displaystyle sum _ {d_ {h} neq c_ {h}} sum _ { gamma _ {h}} { frac {(c_ {h} -d_ {h }) p} {^ {d_ {h}} M_ {P_ {h}}}} {^ {d_ {h}} _ {c_ {h}}} P_ {h} ^ { gamma _ {h} } (t)}}}

kde, ${ displaystyle ^ {b_ {j}} M_ {S_ {j}}}$ a ${ displaystyle ^ {d_ {h}} M_ {P_ {h}}}$ jsou molekulová hmotnost každé izotopové exprese substrátu a produktu.

Izotopový poměr - definice 3

Izotopový poměr vzhledem k hmotnosti sledovacího prvku v akumulovaných substrátech a produktech

{ displaystyle R_ {S} (t) = { frac { displaystyle sum _ {j} sum _ {b_ {j} neq 0} sum _ { beta _ {j}} { frac { b_ {j} q} {^ {b_ {j}} M_ {S_ {j}}}} {^ {b_ {j}} _ {a_ {j}}} S_ {j} ^ { beta _ { j}} (t)} { displaystyle sum _ {j} sum _ {b_ {j} neq a_ {j}} sum _ { beta _ {j}} { frac {(a_ {j } -b_ {j}) p} {^ {b_ {j}} M_ {S_ {j}}}} {^ {b_ {j}} _ {a_ {j}}} S_ {j} ^ { beta _ {j}} (t)}},}

{ displaystyle R_ {P} (t) = { frac { displaystyle sum _ {h} sum _ {d_ {h} neq 0} sum _ { gamma _ {h}} { frac { d_ {h} q} {^ {d_ {h}} M_ {P_ {h}}}} {^ {d_ {h}} _ {c_ {h}}} P_ {h} ^ { gamma _ { h}} (t)} { displaystyle sum _ {h} sum _ {d_ {h} neq c_ {h}} sum _ { gamma _ {h}} { frac {(c_ {h } -d_ {h}) p} {^ {d_ {h}} M_ {P_ {h}}}} {^ {d_ {h}} _ {c_ {h}}} P_ {h} ^ { gamma _ {h}} (t)}}.}

Izotopové složení

Bez ohledu na definici izotopového poměru je izotopové složení substrátu a produktu vyjádřeno jako

{ displaystyle delta _ {S} (t) = left ({ frac {R_ {S} (t)} {R_ {std}}} - 1 right) 1000}

,

(4a)

{ displaystyle delta _ {P} (t) = left ({ frac {R_ {P} (t)} {R_ {std}}} - 1 right) 1000}

.

(4a)

kde ${ displaystyle R_ {std}}$ je standardní izotopová dávka. Zde byla použita definice 3 izotopového poměru, lze však stejně použít kteroukoli ze tří definic izotopového poměru.

Frakční faktor

Izotopový poměr produktu lze použít k definování okamžitého izotopového poměru

{ displaystyle { ce {IR}} _ { ce {P}} (t) = { cfrac { displaystyle sum _ {h} sum _ {d_ {h} neq 0} sum _ { gamma _ {h}} { cfrac {d_ {h} q} {^ {d_ {h}} M _ {{ ce {P}} _ {h}}}} { cfrac {{ ce { d}} [{^ {d_ {h}} _ {c_ {h}}} { ce {P}} _ {h} ^ { gamma _ {h}} (t)]} {{ ce { d}} t}}} { displaystyle sum _ {h} sum _ {d_ {h} neq c_ {h}} sum _ { gamma _ {h}} { cfrac {(c_ {h } -d_ {h}) p} {^ {d_ {h}} M _ {{ ce {P}} _ {h}}}} { cfrac {{ ce {d}} [{^ {d_ {h}} _ {c_ {h}}} { ce {P}} _ {h} ^ { gamma _ {h}} (t)]} {{ ce {d}} t}}}} }

(5)

a časově závislý frakcionační faktor

{ displaystyle alpha (t) = { frac {{ ce {IR}} _ {{ ce {P}}} (t)} {R _ {{ ce {S}}} (t)}} }

(6)

Izotopové obohacení

Časově závislé izotopové obohacení je jednoduše definováno jako

{ displaystyle epsilon (t) = 1- alfa (t)}

(7)

Zjednodušené formy GEBIK a GEBIF

Za určitých předpokladů se rovnice GEBIK a GEBIF stávají ekvivalentními rovnici pro frakcionaci kinetických izotopů v ustáleném stavu v chemických i biochemických reakcích. Zde jsou navržena dvě matematická řešení: (i) pod bez biomasy a enzymově invariantní (BFEI) hypotéza a (ii) pod kvazi-ustálený stav (QSS) hypotéza.

Hypotéza BFEI

V případech, kdy se koncentrace biomasy a enzymu časem znatelně nemění, můžeme předpokládat, že dynamika biomasy je zanedbatelná a celková koncentrace enzymu je konstantní a rovnice GEBIK

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} [{^ {b_ {j}} _ {a_ {j}}} { ce {S}} _ {j} ^ { beta _ {j} }]} {{ ce {d}} t}} = součet _ {i} x_ {b_ {ji}} [{k} _ {2 (i)} C_ {i} - {k} _ {1 (i)} {E { overline {S}}} _ {i}]}

(8a)

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} C_ {i}} {{ ce {d}} t}} = {k} _ {1 (i)} {E { overline {S}} } _ {i} - [{k} _ {2 (i)} + {k} _ {3 (i)}] C_ {i}}

(8b)

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} [{^ {d_ {h}} _ {c_ {h}}} { ce {P}} _ {h} ^ { gamma _ {h} }]} {{ ce {d}} t}} = sum _ {i} u _ { gamma _ {hi}} y_ {d_ {hi}} {k} _ {3 (i)} { ce {C}} _ ​​{i}}

(8c)

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} E} {{ ce {d}} t}} = - součet _ {i} { frac {{ ce {d}} C_ {i} } {{ ce {d}} t}}}

(8d)

Ekv. (4) pro izotopové směsi, ekv. (6) pro frakcionační faktor a ekv. (7) pro faktor obohacení platí stejně pro rovnice GEBIK podle hypotézy BFEI.

QSS hypotéza

Pokud kvazi-ustálená hypotéza kromě hypotézy BFEI se předpokládá, že lze podle Briggsové předpokládat, že komplexní koncentrace je ve stacionárním (ustáleném) stavuHaldane hypotéza a rovnice GEBIK se stanou

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} [{_ {a_ {j}} ^ {b_ {j}}} { ce {S}} _ {j} ^ { beta _ {j} }]} {{ ce {d}} t}} simeq - sum _ {i = 1} ^ {m} { frac {x_ {b_ {ji}} {k} _ {3 (i)} E_ {0} { overline {S}} _ {i}} {{ overline {S}} _ {i} + K_ {i} left (1+ displaystyle sum _ {p neq i} { dfrac {{ overline {S}} _ {p}} {K_ {p}}} right)}}}

(9a)

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} [{^ {d_ {h}} _ {c_ {h}}} { ce {P}} _ {h} ^ { gamma _ {h} }]} {{ ce {d}} t}} simeq sum _ {i = 1} ^ {m} { frac {u _ { gamma _ {hi}} y_ {d_ {hi}} {k } _ {3 (i)} E_ {0} { overline {S}} _ {i}} {{ overline {S}} _ {i} + K_ {i} left (1+ displaystyle sum _ {p neq i} { dfrac {{ overline {S}} _ {p}} {K_ {p}}} right)}}}

(9a)

které jsou psány ve formě podobné klasickým Micaelis-Mentenovým rovnicím pro jakýkoli substrát a produkt. Rovnice zde také ukazují, že různé substráty izotopologů a izotopomerů se jeví jako konkurenční druhy. Ekv. (4) pro izotopové směsi, ekv. (6) pro frakcionační faktor a ekv. (7) pro faktor obohacení platí stejně pro rovnice GEBIK podle hypotézy BFEI a QSS.

Příklad aplikace GEBIK a GEBIF

Je ukázán příklad, kde jsou k popisu izotopových reakcí rovnice GEBIK a GEBIF použity ${ displaystyle { ce {N2O}}}$ spotřeba do ${ displaystyle { ce {N2}}}$ podle současné sady reakcí

{ displaystyle { ce {^ {14} N2O -> {^ {14} N2},}}}

{ displaystyle { ce {{^ {14} N} {^ {15} NE} -> {^ {14} N} {^ {15} N},}}}

{ displaystyle { ce {{^ {15} N} {^ {14} NE} -> {^ {14} N} {^ {15} N},}}}

Ty lze přepsat pomocí notace zavedené dříve jako.

{ displaystyle { ce {{^ {0} _ {2} S} + {E} <=> [{k} _ {2 (1)}] [{k} _ {1 (1)}] C1 -> [{k} _ {3 (1)}] {^ {0} _ {2} P} + {E},}}}

{ displaystyle { ce {{^ {1} _ {2} S} ^ { beta} + {E} <=> [{k} _ {2 (2)}] [{k} _ {1 ( 2)}] C2 -> [{k} _ {3 (2)}] {^ {1} _ {2} P} + {E},}}}

{ displaystyle { ce {{^ {1} _ {2} S} ^ { gamma} + {E} <=> [{k} _ {2 (3)}] [{k} _ {1 ( 3)}] C3 -> [{k} _ {3 (3)}] {^ {1} _ {2} P} + {E},}}}

Substrát ${ displaystyle { ce {^ {2} _ {2} S = {^ {15} N2O}}}}$ nebyl zahrnut kvůli jeho nedostatku. Kromě toho jsme neurčili izotopovou substituci v ${ displaystyle { ce {N2}}}$ produkt druhé a třetí reakce, protože ${ displaystyle { ce {N2}}}$ je symetrický. Za předpokladu, že druhá a třetí reakce mají stejné reakční rychlosti ${ displaystyle (k_ {1 (3)} equiv k_ {1 (2)}}$ , ${ displaystyle k_ {2 (3)} equiv k_ {2 (2)}}$ , a ${ displaystyle k_ {3 (3)} equiv k_ {3 (2)})}$ , úplné rovnice GEBIK a GEBIF jsou

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} [{ ce {^ 0_2S}}]}} {{ ce {d}} t}} = {k} _ {2 (1)} { ce {C1}} - {k} _ {1 (1)} { ce {^ 0_2S E}}}

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} [{ ce {^ {1} _ {2} S ^ { beta}}}]}} {{ ce {d}} t}} = { k} _ {2 (2)} { ce {C2}} - {k} _ {1 (2)} { ce {^ {1} _ {2} S ^ { beta} E}}}

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} [{ ce {^ {1} _ {2} S ^ { gamma}}}}]} {{ ce {d}} t}} = { k} _ {2 (2)} { ce {C3}} - {k} _ {1 (2)} { ce {^ {1} _ {2} S ^ { gamma} E}}}

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} { ce {C1}}} {{ ce {d}} t}} = {k} _ {1 (1)} { ce {^ 0_2S E}} - ({k} _ {2 (1)} + {k} _ {3 (1)}) { ce {C1}}}

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} { ce {C2}}} {{ ce {d}} t}} = {k} _ {1 (2)} { ce {^ { 1} _ {2} S ^ { beta} E}} - ({k} _ {2 (2)} + {k} _ {3 (2)}) { ce {C2}}}

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} { ce {C3}}} {{ ce {d}} t}} = {k} _ {1 (2)} { ce {^ { 1} _ {2} S ^ { gamma} E}} - ({k} _ {2 (2)} + {k} _ {3 (2)}) { ce {C3}}}

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} [{ ce {^ 0_2P}}]}} {{ ce {d}} t}} = {k} _ {3 (1)} { ce {C1}}}

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} [{ ce {^ 1_2P}}]}} {{ ce {d}} t}} = {k} _ {3 (2)} ({ ce {C2}} + { ce {C3}})}

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} { ce {E}}} {{ ce {d}} t}} = z { frac {{ ce {d}} B} {{ ce {d}} t}} - { frac {{ ce {d}} { ce {C1}}} {{ ce {d}} t}} - { frac {{ ce {d }} { ce {C2}}} {{ ce {d}} t}} - { frac {{ ce {d}} { ce {C3}}} {{ ce {d}} t }}}

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} B} {{ ce {d}} t}} = Y left ({ frac {{ ce {d}} [{ ce {^ 0_2P }}]} {{ ce {d}} t}} + { frac {{ ce {d}} [{ ce {^ 1_2P}}]}} {{ ce {d}} t}} vpravo) - mu B}

{ displaystyle R_ {P} (t) = { frac {15 { ce {^ 1_2P}} (t)} {14 { ce {^ 1_2P}} (t) +29 { ce { ^ 0_2P}} (t)}}}

{ displaystyle { ce {IR_P}} (t) = { dfrac {15 ({ ce {C2}} + { ce {C3}}) {k} _ {3 (2)}} {29 { ce {C1}} {k} _ {3 (1)} + 14 ({ ce {C2}} + { ce {C3}}) {k} _ {3 (2)}}} ,}

{ displaystyle R_ {S} (t) = { frac {165 { ce {^ 1_2S}}} {154 { ce {^ 1_2S}} + 315 { ce {^ 0_2S}}}} }

{ displaystyle alpha (t) = { frac {7 ({ ce {C2}} + { ce {C3}}) {k} _ {3 (2)} [45 { ce {^ {0} _ {2} S}} + 22 { ce {^ {1} _ {2} S}}]}} {11 [29 { ce {C1}} {k} _ {3 ( 1)} + 14 ({ ce {C2}} + { ce {C3}}) {k} _ {3 (2)}] {_ {2} ^ {1}} { ce {S }}}}}

Příklad aplikace GEBIK a GEBIF v rámci hypotéz BFEI a QSS

Stejnou reakci lze popsat s rovnicemi GEBIK a GEBIF v rámci aproximací BFEI a QSS jako

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} [{^ {0} _ {2}} { ce {S}}]} {{ ce {d}} t}} simeq - { frac {{k} _ {3 (1)} E_ {0} {^ {0} _ {2}} { ce {S}}} {^ {0} _ {2} { ce {S}} + { ce {K1}} left (1 + { dfrac {{^ {1} _ {2}} { ce {S}} ^ { beta}} { ce {K2}}} + { dfrac {{^ {1} _ {2}} { ce {S}} ^ { gamma}} { ce {K2}}} right)}}}

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} [{^ {1} _ {2}} { ce {S}} ^ { beta}]}} {{ ce {d}} t}} simeq - { frac {{k} _ {3 (2)} E_ {0} {^ {1} _ {2}} { ce {S}} ^ { beta}} {^ {1} _ {2} { ce {S}} ^ { beta} + { ce {K2}} left (1 + { dfrac {{^ {0} _ {2}} { ce {S}}} { ce {K1}}} + { dfrac {{^ {1} _ {2}} { ce {S}} ^ { gamma}} { ce {K2}}} right)}}}

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} [{^ {1} _ {2}} { ce {S}} ^ { gamma}]}} {{ ce {d}} t}} simeq - { frac {{k} _ {3 (2)} E_ {0} {^ {1} _ {2}} { ce {S}} ^ { gamma}} {^ {1} _ {2} { ce {S}} ^ { gamma} + { ce {K2}} left (1 + { dfrac {{^ {0} _ {2}} { ce {S}}} { ce {K1}}} + { dfrac {{^ {1} _ {2}} { ce {S}} ^ { beta}} { ce {K2}}} right)}}}

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} {_ {2} ^ {0}} { ce {P}}} {{ ce {d}} t}} = - { frac {{ ce {d}} [{^ {0} _ {2}} { ce {S}}]}} {{ ce {d}} t}}}

{ displaystyle { frac {{ ce {d}} {_ {2} ^ {1}} { ce {P}}} {{ ce {d}} t}} = - { frac {{ ce {d}} [{^ {1} _ {2}} { ce {S}} ^ { beta}]}} {{ ce {d}} t}} - { frac {{ ce {d}} [{^ {1} _ {2}} { ce {S}} ^ { gamma}]} {{ ce {d}} t}}}

{ displaystyle R_ {P} (t) = { frac {15 {_ {2} ^ {1}} { ce {P}}} {14 {_ {2} ^ {1}} { ce { P}} + 29 {_ {2} ^ {0}} { ce {P}}}}}

{ displaystyle { ce {IR_ {P}}} (t) = { dfrac {15 { ce {K1}} {k} _ {3 (2)} {_ {2} ^ {1}} { ce {S}}} {29 { ce {K2}} {k} _ {3 (1)} {_ {2} ^ {0}} { ce {S}} + 14 { ce {K1 }} {k} _ {3 (2)} {_ {2} ^ {1}} { ce {S}}}}}

{ displaystyle R_ {S} (t) = { frac {465 {_ {2} ^ {1}} { ce {S}}} {14 [63 {_ {2} ^ {0}} { ce {S}} + 31 {_ {2} ^ {1}} { ce {S}}]}}}

{ displaystyle alpha (t) = { frac {14 { ce {K1}} {k} _ {3 (2)} [63 {_ {2} ^ {0}} { ce {S} } +31 {_ {2} ^ {1}} { ce {S}}]} {31 [29 { ce {K2}} {k} _ {3 (1)} {_ {2} ^ {0}} { ce {S}} + 14 { ce {K1}} {k} _ {3 (2)} {_ {2} ^ {0}} { ce {S}}] }}}

kde ${ displaystyle { ce {K3}}}$ byl nahrazen ${ displaystyle { ce {K2}}}$ protože se předpokládá, že rychlostní konstanty ve třetí reakci se rovnají konstantám druhé reakce.

Viz také

Reference

^ Mariotti A., JC Germon, P. Hubert, P. Kaiser, R. Letolle, A. Tardieux, P. Tardieux, (1981), Experimentální stanovení frakce kinetických izotopů dusíku - Některé principy - Ilustrace pro procesy denitrifikace a nitrifikace, Plant and Soil 62 (3), 413–430.
^ Maggi F. a W. J. Riley, (2010), Matematické zpracování izotopologu a speciace a frakcionace izotopomerů v biochemické kinetice, Geochim. Kosmochim. Acta, doi:10.1016 / j.gca.2009.12.021
^ Monod J. (1949) Růst bakteriálních kultur. Annu. Rev. Mikrobiální. 3, 371–394.

[1] Mariotti A., JC Germon, P. Hubert, P. Kaiser, R. Letolle, A. Tardieux, P. Tardieux, (1981), Experimentální stanovení frakce kinetických izotopů dusíku - Některé principy - Ilustrace pro procesy denitrifikace a nitrifikace, Plant and Soil 62 (3), 413–430.

[2] Maggi F. a W. J. Riley, (2010), Matematické zpracování izotopologu a speciace a frakcionace izotopomerů v biochemické kinetice, Geochim. Kosmochim. Acta, doi:10.1016 / j.gca.2009.12.021

[3] Monod J. (1949) Růst bakteriálních kultur. Annu. Rev. Mikrobiální. 3, 371–394.

[1]

[2]

[3]