Maximálně informativní rozměry - Maximally informative dimensions

Maximálně informativní rozměry je snížení rozměrů technika použitá při statistických analýzách neurální reakce. Konkrétně se jedná o způsob promítání stimulu na nízkodimenzionální podprostor takže tolik informace pokud je to možné, stimul je zachován v nervové reakci. Je motivováno skutečností, že přírodní podněty jsou obvykle omezeny jejich statistika do prostoru nižší dimenze překlenul podle bílý šum^[1] ale správná identifikace tohoto podprostoru pomocí tradičních technik je komplikována korelacemi, které existují v přirozených obrazech. V tomto podprostoru funkce stimul-odezva může být buď lineární nebo nelineární. Myšlenku původně vytvořili Tatyana Sharpee, Nicole Rust a William Bialek v roce 2003.^[2]

Matematická formulace

Funkce neurální stimulace a odezvy se obvykle uvádějí jako pravděpodobnost a neuron generování akční potenciál, nebo bodec, v reakci na podnět ${ displaystyle mathbf {s}}$. Cílem maximálně informativních dimenzí je najít malý relevantní podprostor mnohem většího prostoru stimulů, který přesně vystihuje charakteristické rysy ${ displaystyle mathbf {s}}$. Nechat ${ displaystyle D}$ označit rozměrnost celého prostoru stimulu a ${ displaystyle K}$ označit rozměrnost příslušného podprostoru tak, že ${ displaystyle K ll D}$. Nechali jsme ${ displaystyle { mathbf {v} ^ {K} }}$ - označit základ příslušného podprostoru a - ${ displaystyle mathbf {s} ^ {K}}$ the projekce z ${ displaystyle mathbf {s}}$ na ${ displaystyle { mathbf {v} ^ {K} }}$. Použitím Bayesova věta můžeme napsat pravděpodobnost bodce, který dostal stimul:

${ displaystyle P (hrot | mathbf {s} ^ {K}) = P (hrot) f ( mathbf {s} ^ {K})}$

kde

${ displaystyle f ( mathbf {s} ^ {K}) = { frac {P ( mathbf {s} ^ {K} | spike)} {P ( mathbf {s} ^ {K})}} }$

je nějaká nelineární funkce promítaného stimulu.

Aby bylo možné zvolit optimální ${ displaystyle { mathbf {v} ^ {K} }}$, porovnáváme předchozí distribuci stimulů ${ displaystyle P ( mathbf {s})}$ s distribucí stimulů spouštěných špičkami ${ displaystyle P ( mathbf {s} | špice)}$ za použití Shannon informace. The průměrný informace (zprůměrovaná ze všech prezentovaných podnětů) na bodec je dána vztahem

${ displaystyle I_ {spike} = součet _ { mathbf {s}} P ( mathbf {s} | spike) log_ {2} [P ( mathbf {s} | spike) / P ( mathbf {s })]}$.^[3]

Nyní zvažte ${ displaystyle K = 1}$ dimenzionální podprostor definovaný jedním směrem ${ displaystyle mathbf {v}}$. Průměrná informace o projekci vyjádřená jediným bodcem ${ displaystyle x = mathbf {s} cdot mathbf {v}}$ je

${ displaystyle I ( mathbf {v}) = int dxP _ { mathbf {v}} (x | spike) log2 [P _ { mathbf {v}} (x | spike) / P _ { mathbf {v} }(X)]}$,

kde jsou rozdělení pravděpodobnosti aproximována měřeným datovým souborem pomocí ${ displaystyle P _ { mathbf {v}} (x | spike) = langle delta (x- mathbf {s} cdot mathbf {v}) | spike rangle _ { mathbf {s}}}$ a ${ displaystyle P _ { mathbf {v}} (x) = langle delta (x- mathbf {s} cdot mathbf {v}) rangle _ { mathbf {s}}}$, tj. každý prezentovaný stimul je reprezentován měřítkem Diracova delta funkce a rozdělení pravděpodobnosti jsou vytvořena zprůměrováním všech stimulů vyvolávajících špičky, v prvním případě, nebo celé prezentované sady stimulů, v druhém případě. Pro danou datovou sadu je průměrná informace pouze funkcí směru ${ displaystyle mathbf {v}}$. Podle této formulace je to příslušný podprostor dimenze ${ displaystyle K = 1}$ by byl definován směrem ${ displaystyle mathbf {v}}$ který maximalizuje průměrné informace ${ displaystyle I ( mathbf {v})}$.

Tento postup lze snadno rozšířit na příslušný podprostor dimenze ${ displaystyle K> 1}$ definováním

${ displaystyle P _ { mathbf {v} ^ {K}} ( mathbf {x} | spike) = langle prod _ {i = 1} ^ {K} delta (x_ {i} - mathbf { s} cdot mathbf {v} _ {i}) | spike rangle _ { mathbf {s}}}$

a

${ displaystyle P _ { mathbf {v} ^ {K}} ( mathbf {x}) = langle prod _ {i = 1} ^ {K} delta (x_ {i} - mathbf {s} cdot mathbf {v} _ {i}) rangle _ { mathbf {s}}}$

a maximalizovat ${ displaystyle I ({ mathbf {v} ^ {K}})}$.

Důležitost

Maximálně informativní rozměry nedávají žádné předpoklady o Gaussianity sady podnětů, což je důležité, protože naturalistické podněty mají tendenci mít negaussovské statistiky. Tímto způsobem je technika robustnější než jiné techniky snižování rozměrů, jako je kovariancí vyvolanou hroty analýzy.

Reference