v teorie tepelného kvantového pole , Frekvence Matsubara součet (pojmenovaný po Takeo Matsubara ) je součet přes diskrétní imaginární frekvence. Má následující podobu
S η = 1 β ∑ i ω n G ( i ω n ) , { displaystyle S _ { eta} = { frac {1} { beta}} sum _ {i omega _ {n}} g (i omega _ {n}),} kde β = ℏ / k B T { displaystyle beta = hbar / k_ {B} T} ω n { displaystyle omega _ {n}} n ∈ Z { displaystyle n in mathbb {Z}}
bosonické frekvence: ω n = 2 n π β , { displaystyle omega _ {n} = { frac {2n pi} { beta}},} fermionické frekvence: ω n = ( 2 n + 1 ) π β , { displaystyle omega _ {n} = { frac {(2n + 1) pi} { beta}},} Součet konverguje, pokud G ( z = i ω ) { displaystyle g (z = i omega)} z → ∞ { displaystyle z to infty} z − 1 { displaystyle z ^ {- 1}} S B { displaystyle S_ {B}} η = + 1 { displaystyle eta = + 1} S F { displaystyle S_ {F}} η = − 1 { displaystyle eta = -1} η { displaystyle eta}
Kromě teorie tepelného kvantového pole hraje metoda Matsubarova sčítání frekvence také zásadní roli ve schématickém přístupu k fyzice pevných látek, konkrétně pokud vezmeme v úvahu diagramy při konečné teplotě.[1] [2]
Obecně řečeno, pokud v T = 0 K. { displaystyle T = 0 , { text {K}}} Feynmanův diagram je reprezentován integrálem ∫ T = 0 d ω G ( ω ) { displaystyle int _ {T = 0} mathrm {d} omega g ( omega)} S η { displaystyle S _ { eta}}
Součet frekvencí Matsubara Obecný formalismus Obrázek 1.
Obrázek 2.
Trik, jak vyhodnotit součet frekvencí Matsubara, je použít funkci vážení Matsubara h η z ), který má jednoduché póly nachází přesně na z = i ω { displaystyle z = i omega} η = +1 a fermionový případ η = -1 se liší. Volba funkce vážení bude probrána později. Pomocí funkce vážení lze součet nahradit konturovým integrálem obklopujícím imaginární osu.
S η = 1 β ∑ i ω G ( i ω ) = 1 2 π i β ∮ G ( z ) h η ( z ) d z , { displaystyle S _ { eta} = { frac {1} { beta}} součet _ {i omega} g (i omega) = { frac {1} {2 pi i beta}} mast g (z) h _ { eta} (z) , dz,} Stejně jako na obrázku 1, funkce vážení generuje póly (červené kříže) na imaginární ose. Obrysový integrál zachycuje zbytek těchto pólů, což je ekvivalent součtu.
Deformací vrstevnic se uzavře póly G (z ) (zelený kříž na obr. 2), lze součet formálně provést sečtením zbytku G (z )h η z ) přes všechny póly G (z ),
S η = − 1 β ∑ z 0 ∈ G ( z ) póly Res G ( z 0 ) h η ( z 0 ) . { displaystyle S _ { eta} = - { frac {1} { beta}} sum _ {z_ {0} v g (z) { text {póly}}} operatorname {Res} g ( z_ {0}) h _ { eta} (z_ {0}).} Všimněte si, že je vytvořeno znaménko mínus, protože kontura je deformována tak, že obklopuje póly ve směru hodinových ručiček, což má za následek negativní zbytek.
Volba funkce vážení Matsubara Produkovat jednoduché póly na bosonových frekvencích z = i ω n { displaystyle z = i omega _ {n}}
h B ( 1 ) ( z ) = β 1 − E − β z = − β n B ( − z ) = β ( 1 + n B ( z ) ) , { displaystyle h_ {B} ^ {(1)} (z) = { frac { beta} {1-e ^ {- beta z}}} = - beta n_ {B} (- z) = beta (1 + n_ {B} (z)),} h B ( 2 ) ( z ) = − β 1 − E β z = β n B ( z ) , { displaystyle h_ {B} ^ {(2)} (z) = { frac {- beta} {1-e ^ { beta z}}} = beta n_ {B} (z),} podle toho, ve které polovině roviny má být konvergence řízena. h B ( 1 ) ( z ) { displaystyle h_ {B} ^ {(1)} (z)} z <0), zatímco h B ( 2 ) ( z ) { displaystyle h_ {B} ^ {(2)} (z)} z > 0). Tady n B ( z ) = ( E β z − 1 ) − 1 { displaystyle n_ {B} (z) = (e ^ { beta z} -1) ^ {- 1}} Bose – Einstein distribuční funkce.
Případ je podobný pro fermionové frekvence. Existují také dva typy funkcí vážení Matsubara, které vytvářejí jednoduché póly z = i ω m { displaystyle z = i omega _ {m}}
h F ( 1 ) ( z ) = β 1 + E − β z = β n F ( − z ) = β ( 1 − n F ( z ) ) , { displaystyle h_ {F} ^ {(1)} (z) = { frac { beta} {1 + e ^ {- beta z}}} = beta n_ {F} (- z) = beta (1-n_ {F} (z)),} h F ( 2 ) ( z ) = − β 1 + E β z = − β n F ( z ) . { displaystyle h_ {F} ^ {(2)} (z) = { frac {- beta} {1 + e ^ { beta z}}} = - beta n_ {F} (z).} h F ( 1 ) ( z ) { displaystyle h_ {F} ^ {(1)} (z)} z <0), zatímco h F ( 2 ) ( z ) { displaystyle h_ {F} ^ {(2)} (z)} z > 0). Tady n F ( z ) = ( E β z + 1 ) − 1 { displaystyle n_ {F} (z) = (e ^ { beta z} +1) ^ {- 1}} Fermi – Dirac distribuční funkce.
V aplikaci na výpočet funkce Green, G (z ) vždy mít strukturu
G ( z ) = G ( z ) E − z τ , { displaystyle g (z) = G (z) e ^ {- z tau},} který se odchyluje v levé polovině roviny vzhledem k 0 <τ < β . Pro řízení konvergence je vždy zvolena váhová funkce prvního typu h η ( z ) = h η ( 1 ) ( z ) { displaystyle h _ { eta} (z) = h _ { eta} ^ {(1)} (z)}
Tabulka součtů frekvence Matsubara Následující tabulka uzavírá matsubarské frekvenční součty pro některé jednoduché racionální funkce G (z ).
S η = 1 β ∑ i ω G ( i ω ) . { displaystyle S _ { eta} = { frac {1} { beta}} součet _ {i omega} g (i omega).} η = ± 1 označuje statistický znak.
G ( i ω ) { displaystyle g (i omega)} S η { displaystyle S _ { eta}} ( i ω − ξ ) − 1 { displaystyle (i omega - xi) ^ {- 1}} − η n η ( ξ ) { displaystyle - eta n _ { eta} ( xi)} [1] ( i ω − ξ ) − 2 { displaystyle (i omega - xi) ^ {- 2}} − η n η ′ ( ξ ) = β n η ( ξ ) ( η + n η ( ξ ) ) { displaystyle - eta n _ { eta} ^ { prime} ( xi) = beta n _ { eta} ( xi) ( eta + n _ { eta} ( xi))} ( i ω − ξ ) − n { displaystyle (i omega - xi) ^ {- n}} − η ( n − 1 ) ! ∂ ξ n − 1 n η ( ξ ) { displaystyle - { frac { eta} {(n-1)!}} částečný _ { xi} ^ {n-1} n _ { eta} ( xi)} 1 ( i ω − ξ 1 ) ( i ω − ξ 2 ) { displaystyle { frac {1} {(i omega - xi _ {1}) (i omega - xi _ {2})}}} − η ( n η ( ξ 1 ) − n η ( ξ 2 ) ) ξ 1 − ξ 2 { displaystyle - { frac { eta (n _ { eta} ( xi _ {1}) - n _ { eta} ( xi _ {2}))} { xi _ {1} - xi _ {2}}}} 1 ( i ω − ξ 1 ) 2 ( i ω − ξ 2 ) 2 { displaystyle { frac {1} {(i omega - xi _ {1}) ^ {2} (i omega - xi _ {2}) ^ {2}}}} η ( ξ 1 − ξ 2 ) 2 ( 2 ( n η ( ξ 1 ) − n η ( ξ 2 ) ) ξ 1 − ξ 2 − ( n η ′ ( ξ 1 ) + n η ′ ( ξ 2 ) ) ) { displaystyle { frac { eta} {( xi _ {1} - xi _ {2}) ^ {2}}} left ({ frac {2 (n _ { eta} ( xi _ {1}) - n _ { eta} ( xi _ {2}))} { xi _ {1} - xi _ {2}}} - (n _ { eta} ^ { prime} ( xi _ {1}) + n _ { eta} ^ { prime} ( xi _ {2})) right)} 1 ( i ω − ξ 1 ) 2 − ξ 2 2 { displaystyle { frac {1} {(i omega - xi _ {1}) ^ {2} - xi _ {2} ^ {2}}}} η C η ( ξ 1 , ξ 2 ) { displaystyle eta c _ { eta} ( xi _ {1}, xi _ {2})} 1 ( i ω ) 2 − ξ 2 { displaystyle { frac {1} {(i omega) ^ {2} - xi ^ {2}}}} η C η ( 0 , ξ ) = − 1 2 ξ ( 1 + 2 η n η ( ξ ) ) { displaystyle eta c _ { eta} (0, xi) = - { frac {1} {2 xi}} (1 + 2 eta n _ { eta} ( xi))} ( i ω ) 2 ( i ω ) 2 − ξ 2 { displaystyle { frac {(i omega) ^ {2}} {(i omega) ^ {2} - xi ^ {2}}}} − ξ 2 ( 1 + 2 η n η ( ξ ) ) { displaystyle - { frac { xi} {2}} (1 + 2 eta n _ { eta} ( xi))} [1] 1 ( ( i ω ) 2 − ξ 2 ) 2 { displaystyle { frac {1} {((i omega) ^ {2} - xi ^ {2}) ^ {2}}}} − η 2 ξ 2 ( C η ( 0 , ξ ) + n η ′ ( ξ ) ) { displaystyle - { frac { eta} {2 xi ^ {2}}} (c _ { eta} (0, xi) + n _ { eta} ^ { prime} ( xi))} ( i ω ) 2 ( ( i ω ) 2 − ξ 2 ) 2 { displaystyle { frac {(i omega) ^ {2}} {((i omega) ^ {2} - xi ^ {2}) ^ {2}}}} η 2 ( C η ( 0 , ξ ) − n η ′ ( ξ ) ) { displaystyle { frac { eta} {2}} (c _ { eta} (0, xi) -n _ { eta} ^ { prime} ( xi))} ( i ω ) 2 + ξ 2 ( ( i ω ) 2 − ξ 2 ) 2 { displaystyle { frac {(i omega) ^ {2} + xi ^ {2}} {((i omega) ^ {2} - xi ^ {2}) ^ {2}}}} − η n η ′ ( ξ ) = β n η ( ξ ) ( η + n η ( ξ ) ) { displaystyle - eta n _ { eta} ^ { prime} ( xi) = beta n _ { eta} ( xi) ( eta + n _ { eta} ( xi))} 1 ( ( i ω ) 2 − ξ 1 2 ) ( ( i ω ) 2 − ξ 2 2 ) { displaystyle { frac {1} {((i omega) ^ {2} - xi _ {1} ^ {2}) ((i omega) ^ {2} - xi _ {2} ^ {2})}}} η ( C η ( 0 , ξ 1 ) − C η ( 0 , ξ 2 ) ) ξ 1 2 − ξ 2 2 { displaystyle { frac { eta (c _ { eta} (0, xi _ {1}) - c _ { eta} (0, xi _ {2}))} { xi _ {1} ^ {2} - xi _ {2} ^ {2}}}} ( 1 ( i ω ) 2 − ξ 1 2 + 1 ( i ω ) 2 − ξ 2 2 ) 2 { displaystyle left ({ frac {1} {(i omega) ^ {2} - xi _ {1} ^ {2}}} + { frac {1} {(i omega) ^ { 2} - xi _ {2} ^ {2}}} vpravo) ^ {2}} η ( 3 ξ 1 2 + ξ 2 2 2 ξ 1 2 ( ξ 1 2 − ξ 2 2 ) C η ( 0 , ξ 1 ) − n η ′ ( ξ 1 ) 2 ξ 1 2 ) + ( 1 ↔ 2 ) { displaystyle eta left ({ frac {3 xi _ {1} ^ {2} + xi _ {2} ^ {2}} {2 xi _ {1} ^ {2} ( xi _ {1} ^ {2} - xi _ {2} ^ {2})}} c _ { eta} (0, xi _ {1}) - { frac {n _ { eta} ^ { prime} ( xi _ {1})} {2 xi _ {1} ^ {2}}} right) + (1 leftrightarrow 2)} [2] ( 1 ( i ω ) 2 − ξ 1 2 − 1 ( i ω ) 2 − ξ 2 2 ) 2 { displaystyle left ({ frac {1} {(i omega) ^ {2} - xi _ {1} ^ {2}}} - { frac {1} {(i omega) ^ { 2} - xi _ {2} ^ {2}}} vpravo) ^ {2}} η ( − 5 ξ 1 2 − ξ 2 2 2 ξ 1 2 ( ξ 1 2 − ξ 2 2 ) C η ( 0 , ξ 1 ) − n η ′ ( ξ 1 ) 2 ξ 1 2 ) + ( 1 ↔ 2 ) { displaystyle eta left (- { frac {5 xi _ {1} ^ {2} - xi _ {2} ^ {2}} {2 xi _ {1} ^ {2} ( xi _ {1} ^ {2} - xi _ {2} ^ {2})}} c _ { eta} (0, xi _ {1}) - { frac {n _ { eta} ^ { prime} ( xi _ {1})} {2 xi _ {1} ^ {2}}} right) + (1 leftrightarrow 2)} [2]
[1] Protože součet nekonverguje, může se výsledek lišit při různém výběru funkce vážení Matsubara.
[2] (1 ↔ 2) označuje stejný výraz jako předtím, ale s vyměněnými indexy 1 a 2.
Aplikace ve fyzice Nulový teplotní limit V tomto limitu β → ∞ { displaystyle beta rightarrow infty}
1 β ∑ i ω = ∫ − i ∞ i ∞ d ( i ω ) 2 π . { displaystyle { frac {1} { beta}} suma _ {i omega} = int _ {- i infty} ^ {i infty} { frac { mathrm {d} (i omega)} {2 pi}}.} Některé integrály nekonvergují. Měly by být legalizovány zavedením mezní frekvence Ω { displaystyle Omega} Ω { displaystyle Omega} Ω → ∞ { displaystyle Omega rightarrow infty}
η lim Ω → ∞ [ ∫ − i Ω i Ω d ( i ω ) 2 π ( ln ( − i ω + ξ ) − π ξ 2 Ω ) − Ω π ( ln Ω − 1 ) ] = { 0 ξ ≥ 0 , − η ξ ξ < 0 , { displaystyle eta lim _ { Omega rightarrow infty} left [ int _ {- i Omega} ^ {i Omega} { frac { mathrm {d} (i omega)} { 2 pi}} left ( ln (-i omega + xi) - { frac { pi xi} {2 Omega}} right) - { frac { Omega} { pi} } ( ln Omega -1) right] = left {{ begin {array} {cc} 0 & xi geq 0, - eta xi & xi <0, end {pole }}že jo.} což znamená, že při nulové teplotě se volná energie jednoduše vztahuje k vnitřní energii pod chemickým potenciálem. Také distribuční funkce je získána následujícím integrálem
η lim Ω → ∞ ∫ − i Ω i Ω d ( i ω ) 2 π ( 1 − i ω + ξ − π 2 Ω ) = { 0 ξ ≥ 0 , − η ξ < 0 , { displaystyle eta lim _ { Omega rightarrow infty} int _ {- i Omega} ^ {i Omega} { frac { mathrm {d} (i omega)} {2 pi }} left ({ frac {1} {- i omega + xi}} - { frac { pi} {2 Omega}} right) = left {{ begin {pole} { cc} 0 & xi geq 0, - eta & xi <0, end {pole}} vpravo.} který ukazuje chování funkce kroku při nulové teplotě.
Greenova funkce souvisí Časová doména Zvažte funkci G (τ ) definovaný na imaginárním časovém intervalu (0,β ). Může to být vyjádřeno jako Fourierova řada,
G ( τ ) = 1 β ∑ i ω G ( i ω ) E − i ω τ , { displaystyle G ( tau) = { frac {1} { beta}} součet _ {i omega} G (i omega) e ^ {- i omega tau},} kde frekvence bere pouze diskrétní hodnoty s mezerou 2π /β .
Konkrétní volba frekvence závisí na okrajových podmínkách funkce G (τ ). Ve fyzice G (τ ) znamená imaginární časovou reprezentaci Greenovy funkce
G ( τ ) = − ⟨ T τ ψ ( τ ) ψ ∗ ( 0 ) ⟩ . { displaystyle G ( tau) = - langle { mathcal {T}} _ { tau} psi ( tau) psi ^ {*} (0) rangle.} Splňuje periodickou okrajovou podmínku G (τ +β )=G (τ ) pro bosonové pole. Zatímco pro fermionové pole je okrajová podmínka antioperiodická G (τ + β ) = −G (τ ).
Vzhledem k funkci Greena G (iω ) ve frekvenční doméně, její imaginární časová reprezentace G (τ ) lze vyhodnotit součtem frekvencí Matsubara. Výsledek závisí na frekvencích bosonu nebo fermionu, které se mají sečíst G (τ ) se mohou lišit. Chcete-li rozlišit, definujte
G η ( τ ) = { G B ( τ ) , -li η = + 1 , G F ( τ ) , -li η = − 1 , { displaystyle G _ { eta} ( tau) = { begin {cases} G_ {B} ( tau), & { text {if}} eta = + 1, G_ {F} ( tau), & { text {if}} eta = -1, end {cases}}} s
G B ( τ ) = 1 β ∑ i ω n G ( i ω n ) E − i ω n τ , { displaystyle G_ {B} ( tau) = { frac {1} { beta}} součet _ {i omega _ {n}} G (i omega _ {n}) e ^ {- i omega _ {n} tau},} G F ( τ ) = 1 β ∑ i ω m G ( i ω m ) E − i ω m τ . { displaystyle G_ {F} ( tau) = { frac {1} { beta}} součet _ {i omega _ {m}} G (i omega _ {m}) e ^ {- i omega _ {m} tau}.} Všimněte si, že τ je omezen v hlavním intervalu (0,β ). Lze použít okrajovou podmínku G (τ ) z hlavního intervalu. Některé často používané výsledky jsou shrnuty v následující tabulce.
G ( i ω ) { displaystyle G (i omega)} G η ( τ ) { displaystyle G _ { eta} ( tau)} ( i ω − ξ ) − 1 { displaystyle (i omega - xi) ^ {- 1}} − E ξ ( β − τ ) n η ( ξ ) { displaystyle -e ^ { xi ( beta - tau)} n _ { eta} ( xi)} ( i ω − ξ ) − 2 { displaystyle (i omega - xi) ^ {- 2}} E ξ ( β − τ ) n η ( ξ ) ( τ + η β n η ( ξ ) ) { displaystyle e ^ { xi ( beta - tau)} n _ { eta} ( xi) vlevo ( tau + eta beta n _ { eta} ( xi) vpravo)} ( i ω − ξ ) − 3 { displaystyle (i omega - xi) ^ {- 3}} − 1 2 E ξ ( β − τ ) n η ( ξ ) ( τ 2 + η β ( β + 2 τ ) n η ( ξ ) + 2 β 2 n η 2 ( ξ ) ) { displaystyle - { frac {1} {2}} e ^ { xi ( beta - tau)} n _ { eta} ( xi) vlevo ( tau ^ {2} + eta beta ( beta +2 tau) n _ { eta} ( xi) +2 beta ^ {2} n _ { eta} ^ {2} ( xi) vpravo)} ( i ω − ξ 1 ) − 1 ( i ω − ξ 2 ) − 1 { displaystyle (i omega - xi _ {1}) ^ {- 1} (i omega - xi _ {2}) ^ {- 1}} − E ξ 1 ( β − τ ) n η ( ξ 1 ) − E ξ 2 ( β − τ ) n η ( ξ 2 ) ξ 1 − ξ 2 { displaystyle - { frac {e ^ { xi _ {1} ( beta - tau)} n _ { eta} ( xi _ {1}) - e ^ { xi _ {2} ( beta - tau)} n _ { eta} ( xi _ {2})} { xi _ {1} - xi _ {2}}}} ( ω 2 + m 2 ) − 1 { displaystyle ( omega ^ {2} + m ^ {2}) ^ {- 1}} E − m τ 2 m + η m hovadina m τ n η ( m ) { displaystyle { frac {e ^ {- m tau}} {2m}} + { frac { eta} {m}} cosh {m tau} ; n _ { eta} (m)} i ω ( ω 2 + m 2 ) − 1 { displaystyle i omega ( omega ^ {2} + m ^ {2}) ^ {- 1}} E − m τ 2 − η sinh m τ n η ( m ) { displaystyle { frac {e ^ {- m tau}} {2}} - eta , sinh {m tau} ; n _ { eta} (m)}
Efekt přepínání operátora Malý imaginární čas zde hraje zásadní roli. Pořadí operátorů se změní, pokud se malý imaginární čas změní na znaménko.
⟨ ψ ψ ∗ ⟩ = ⟨ T τ ψ ( τ = 0 + ) ψ ∗ ( 0 ) ⟩ = − G η ( τ = 0 + ) = − 1 β ∑ i ω G ( i ω ) E − i ω 0 + { displaystyle langle psi psi ^ {*} rangle = langle { mathcal {T}} _ { tau} psi ( tau = 0 ^ {+}) psi ^ {*} (0 ) rangle = -G _ { eta} ( tau = 0 ^ {+}) = - { frac {1} { beta}} sum _ {i omega} G (i omega) e ^ { -i omega 0 ^ {+}}} ⟨ ψ ∗ ψ ⟩ = η ⟨ T τ ψ ( τ = 0 − ) ψ ∗ ( 0 ) ⟩ = − η G η ( τ = 0 − ) = − η β ∑ i ω G ( i ω ) E i ω 0 + { displaystyle langle psi ^ {*} psi rangle = eta langle { mathcal {T}} _ { tau} psi ( tau = 0 ^ {-}) psi ^ {*} (0) rangle = - eta G _ { eta} ( tau = 0 ^ {-}) = - { frac { eta} { beta}} sum _ {i omega} G (i omega) e ^ {i omega 0 ^ {+}}} Distribuční funkce Vyhodnocení distribuční funkce se stává obtížné kvůli diskontinuitě Greenovy funkce G (τ ) na τ = 0. Vyhodnotit součet
G ( 0 ) = ∑ i ω ( i ω − ξ ) − 1 , { displaystyle G (0) = součet _ {i omega} (i omega - xi) ^ {- 1},} obě možnosti funkce vážení jsou přijatelné, ale výsledky se liší. To lze pochopit, pokud budeme tlačit G (τ ) pryč od τ = 0 trochu, pak pro kontrolu konvergence musíme vzít h η ( 1 ) ( z ) { displaystyle h _ { eta} ^ {(1)} (z)} G ( τ = 0 + ) { displaystyle G ( tau = 0 ^ {+})} h η ( 2 ) ( z ) { displaystyle h _ { eta} ^ {(2)} (z)} G ( τ = 0 − ) { displaystyle G ( tau = 0 ^ {-})}
Bosoni
G B ( τ = 0 − ) = 1 β ∑ i ω n E i ω n 0 + i ω n − ξ = − n B ( ξ ) , { displaystyle G_ {B} ( tau = 0 ^ {-}) = { frac {1} { beta}} sum _ {i omega _ {n}} { frac {e ^ {i omega _ {n} 0 ^ {+}}} {i omega _ {n} - xi}} = - n_ {B} ( xi),} G B ( τ = 0 + ) = 1 β ∑ i ω n E − i ω n 0 + i ω n − ξ = − ( n B ( ξ ) + 1 ) . { displaystyle G_ {B} ( tau = 0 ^ {+}) = { frac {1} { beta}} sum _ {i omega _ {n}} { frac {e ^ {- i omega _ {n} 0 ^ {+}}} {i omega _ {n} - xi}} = - (n_ {B} ( xi) +1).} Fermiony
G F ( τ = 0 − ) = 1 β ∑ i ω m E i ω m 0 + i ω m − ξ = n F ( ξ ) , { displaystyle G_ {F} ( tau = 0 ^ {-}) = { frac {1} { beta}} sum _ {i omega _ {m}} { frac {e ^ {i omega _ {m} 0 ^ {+}}} {i omega _ {m} - xi}} = n_ {F} ( xi),} G F ( τ = 0 + ) = 1 β ∑ i ω m E − i ω m 0 + i ω m − ξ = − ( 1 − n F ( ξ ) ) . { displaystyle G_ {F} ( tau = 0 ^ {+}) = { frac {1} { beta}} sum _ {i omega _ {m}} { frac {e ^ {- i omega _ {m} 0 ^ {+}}} {i omega _ {m} - xi}} = - (1-n_ {F} ( xi)).} Energie zdarma Bosoni
1 β ∑ i ω n ln ( β ( − i ω n + ξ ) ) = 1 β ln ( 1 − E − β ξ ) , { displaystyle { frac {1} { beta}} suma _ {i omega _ {n}} ln ( beta (-i omega _ {n} + xi)) = { frac { 1} { beta}} ln (1-e ^ {- beta xi}),} Fermiony
− 1 β ∑ i ω m ln ( β ( − i ω m + ξ ) ) = − 1 β ln ( 1 + E − β ξ ) . { displaystyle - { frac {1} { beta}} součet _ {i omega _ {m}} ln ( beta (-i omega _ {m} + xi)) = - { frac {1} { beta}} ln (1 + e ^ {- beta xi}).} Vyhodnocení diagramů Zde se vyhodnocují často se vyskytující diagramy s nastavením jednoho režimu. Problém více režimů lze vyřešit integrálem spektrální funkce.
Fermionova vlastní energie Σ ( i ω m ) = − 1 β ∑ i ω n 1 i ω m + i ω n − ε 1 i ω n − Ω = n F ( ε ) − n F ( Ω ) i ω m − ε + Ω . { displaystyle Sigma (i omega _ {m}) = - { frac {1} { beta}} součet _ {i omega _ {n}} { frac {1} {i omega _ {m} + i omega _ {n} - varepsilon}} { frac {1} {i omega _ {n} - Omega}} = { frac {n_ {F} ( varepsilon) -n_ {F} ( Omega)} {i omega _ {m} - varepsilon + Omega}}.} Bublina s částicemi Π ( i ω n ) = 1 β ∑ i ω m 1 i ω m + i ω n − ε 1 i ω m − ε ′ = − n F ( ε ) − n F ( ε ′ ) i ω n − ε + ε ′ . { displaystyle Pi (i omega _ {n}) = { frac {1} { beta}} součet _ {i omega _ {m}} { frac {1} {i omega _ { m} + i omega _ {n} - varepsilon}} { frac {1} {i omega _ {m} - varepsilon '}} = - { frac {n_ {F} ( varepsilon) - n_ {F} left ( varepsilon ' right)} {i omega _ {n} - varepsilon + varepsilon'}}.} Částice-částicová bublina Π ( i ω n ) = − 1 β ∑ i ω m 1 i ω m + i ω n − ϵ 1 − i ω m − ϵ ′ = 1 − n F ( ϵ ) − n F ( ϵ ′ ) i ω n − ϵ − ϵ ′ . { displaystyle Pi (i omega _ {n}) = - { frac {1} { beta}} součet _ {i omega _ {m}} { frac {1} {i omega _ {m} + i omega _ {n} - epsilon}} { frac {1} {- i omega _ {m} - epsilon '}} = { frac {1-n_ {F} ( epsilon) -n_ {F} left ( epsilon ' right)} {i omega _ {n} - epsilon - epsilon'}}.} Dodatek: Vlastnosti distribučních funkcí Distribuční funkce Obecná notace n η { displaystyle n _ { eta}} η = +1) nebo Fermi (η = -1) distribuční funkce
n η ( ξ ) = 1 E β ξ − η . { displaystyle n _ { eta} ( xi) = { frac {1} {e ^ { beta xi} - eta}}.} V případě potřeby konkrétní notace n B n F
n η ( ξ ) = { n B ( ξ ) , -li η = + 1 , n F ( ξ ) , -li η = − 1. { displaystyle n _ { eta} ( xi) = { begin {cases} n_ {B} ( xi), & { text {if}} eta = + 1, n_ {F} ( xi), & { text {if}} eta = -1. end {případy}}} Vztah k hyperbolickým funkcím Funkce distribuce Bose souvisí s hyperbolickou kotangensovou funkcí podle
n B ( ξ ) = 1 2 ( coth β ξ 2 − 1 ) . { displaystyle n_ {B} ( xi) = { frac {1} {2}} left ( operatorname {coth} { frac { beta xi} {2}} - 1 right).} Funkce distribuce Fermiho souvisí s hyperbolickou tangensovou funkcí podle
n F ( ξ ) = 1 2 ( 1 − tanh β ξ 2 ) . { displaystyle n_ {F} ( xi) = { frac {1} {2}} vlevo (1- operatorname {tanh} { frac { beta xi} {2}} vpravo).} Parita Obě distribuční funkce nemají určitou paritu,
n η ( − ξ ) = − η − n η ( ξ ) . { displaystyle n _ { eta} (- xi) = - eta -n _ { eta} ( xi).} Další vzorec je z hlediska C η { displaystyle c _ { eta}}
n η ( − ξ ) = n η ( ξ ) + 2 ξ C η ( 0 , ξ ) . { displaystyle n _ { eta} (- xi) = n _ { eta} ( xi) +2 xi c _ { eta} (0, xi).} Jejich deriváty však mají určitou paritu.
Bose-Fermiho transmutace Distribuční funkce Bose a Fermi se mění pod posunem proměnné o fermionovou frekvenci,
n η ( i ω m + ξ ) = − n − η ( ξ ) . { displaystyle n _ { eta} (i omega _ {m} + xi) = - n _ {- eta} ( xi).} Přesunutí podle bosonických frekvencí však nedělá žádný rozdíl.
Deriváty První objednávka n B ′ ( ξ ) = − β 4 C s C h 2 β ξ 2 , { displaystyle n_ {B} ^ { prime} ( xi) = - { frac { beta} {4}} mathrm {csch} ^ {2} { frac { beta xi} {2} },} n F ′ ( ξ ) = − β 4 s E C h 2 β ξ 2 . { displaystyle n_ {F} ^ { prime} ( xi) = - { frac { beta} {4}} mathrm {sech} ^ {2} { frac { beta xi} {2} }.} Pokud jde o produkt:
n η ′ ( ξ ) = − β n η ( ξ ) ( 1 + η n η ( ξ ) ) . { displaystyle n _ { eta} ^ { prime} ( xi) = - beta n _ { eta} ( xi) (1+ eta n _ { eta} ( xi)).} V limitu nulové teploty:
n η ′ ( ξ ) = η δ ( ξ ) tak jako β → ∞ . { displaystyle n _ { eta} ^ { prime} ( xi) = eta delta ( xi) { text {as}} beta rightarrow infty.} Druhá objednávka n B ′ ′ ( ξ ) = β 2 4 csch 2 β ξ 2 coth β ξ 2 , { displaystyle n_ {B} ^ { prime prime} ( xi) = { frac { beta ^ {2}} {4}} operatorname {csch} ^ {2} { frac { beta xi} {2}} operatorname {coth} { frac { beta xi} {2}},} n F ′ ′ ( ξ ) = β 2 4 sech 2 β ξ 2 tanh β ξ 2 . { displaystyle n_ {F} ^ { prime prime} ( xi) = { frac { beta ^ {2}} {4}} operatorname {sech} ^ {2} { frac { beta xi} {2}} operatorname {tanh} { frac { beta xi} {2}}.} Vzorec rozdílu n η ( A + b ) − n η ( A − b ) = − s i n h β b C Ó s h β A − η C Ó s h β b . { displaystyle n _ { eta} (a + b) -n _ { eta} (ab) = - { frac { mathrm {sinh} beta b} { mathrm {cosh} beta a- eta , mathrm {cosh} beta b}}.} Případ A = 0 n B ( b ) − n B ( − b ) = C Ó t h β b 2 , { displaystyle n_ {B} (b) -n_ {B} (- b) = mathrm {coth} { frac { beta b} {2}},} n F ( b ) − n F ( − b ) = − t A n h β b 2 . { displaystyle n_ {F} (b) -n_ {F} (- b) = - mathrm {tanh} { frac { beta b} {2}}.} Případ A → 0 n B ( A + b ) − n B ( A − b ) = coth β b 2 + n B ′ ′ ( b ) A 2 + ⋯ , { displaystyle n_ {B} (a + b) -n_ {B} (ab) = operatorname {coth} { frac { beta b} {2}} + n_ {B} ^ { prime prime} (b) a ^ {2} + cdots,} n F ( A + b ) − n F ( A − b ) = − tanh β b 2 + n F ′ ′ ( b ) A 2 + ⋯ . { displaystyle n_ {F} (a + b) -n_ {F} (ab) = - operatorname {tanh} { frac { beta b} {2}} + n_ {F} ^ { prime prime } (b) a ^ {2} + cdots.} Případ b → 0 n B ( A + b ) − n B ( A − b ) = 2 n B ′ ( A ) b + ⋯ , { displaystyle n_ {B} (a + b) -n_ {B} (a-b) = 2n_ {B} ^ { prime} (a) b + cdots,} n F ( A + b ) − n F ( A − b ) = 2 n F ′ ( A ) b + ⋯ . { displaystyle n_ {F} (a + b) -n_ {F} (a-b) = 2n_ {F} ^ { prime} (a) b + cdots.} Funkce C η Definice:
C η ( A , b ) ≡ − n η ( A + b ) − n η ( A − b ) 2 b . { displaystyle c _ { eta} (a, b) equiv - { frac {n _ { eta} (a + b) -n _ { eta} (a-b)} {2b}}.} Pro typ Bose a Fermi:
C B ( A , b ) ≡ C + ( A , b ) , { displaystyle c_ {B} (a, b) equiv c _ {+} (a, b),} C F ( A , b ) ≡ C − ( A , b ) . { displaystyle c_ {F} (a, b) equiv c _ {-} (a, b).} Vztah k hyperbolickým funkcím C η ( A , b ) = sinh β b 2 b ( hovadina β A − η hovadina β b ) . { displaystyle c _ { eta} (a, b) = { frac { sinh beta b} {2b ( cosh beta a- eta cosh beta b)}}} Je zřejmé, že C F ( A , b ) { displaystyle c_ {F} (a, b)}
Aby se zabránilo přetečení v numerickém výpočtu, používají se funkce tanh a coth
C B ( A , b ) = 1 4 b ( coth β ( A − b ) 2 − coth β ( A + b ) 2 ) , { displaystyle c_ {B} (a, b) = { frac {1} {4b}} left ( operatorname {coth} { frac { beta (ab)} {2}} - operatorname {coth } { frac { beta (a + b)} {2}} vpravo),} C F ( A , b ) = 1 4 b ( tanh β ( A + b ) 2 − tanh β ( A − b ) 2 ) . { displaystyle c_ {F} (a, b) = { frac {1} {4b}} left ( operatorname {tanh} { frac { beta (a + b)} {2}} - operatorname {tanh} { frac { beta (ab)} {2}} vpravo).} Případ A = 0 C B ( 0 , b ) = − 1 2 b coth β b 2 , { displaystyle c_ {B} (0, b) = - { frac {1} {2b}} operatorname {coth} { frac { beta b} {2}},} C F ( 0 , b ) = 1 2 b tanh β b 2 . { displaystyle c_ {F} (0, b) = { frac {1} {2b}} operatorname {tanh} { frac { beta b} {2}}.} Případ b = 0 C B ( A , 0 ) = β 4 csch 2 β A 2 , { displaystyle c_ {B} (a, 0) = { frac { beta} {4}} operatorname {csch} ^ {2} { frac { beta a} {2}},} C F ( A , 0 ) = β 4 sech 2 β A 2 . { displaystyle c_ {F} (a, 0) = { frac { beta} {4}} operatorname {sech} ^ {2} { frac { beta a} {2}}.} Nízký teplotní limit Pro A = 0: C F ( 0 , b ) = 1 2 | b | . { displaystyle c_ {F} (0, b) = { frac {1} {2 | b |}}.}
Pro b = 0: C F ( A , 0 ) = δ ( A ) . { displaystyle c_ {F} (a, 0) = delta (a).}
Obecně,
C F ( A , b ) = { 1 2 | b | , -li | A | < | b | 0 , -li | A | > | b | { displaystyle c_ {F} (a, b) = { begin {cases} { frac {1} {2 | b |}}, & { text {if}} | a | <| b | 0, & { text {if}} | a |> | b | end {cases}}} Viz také externí odkazy Agustin Nieto: Vyhodnocování součtů za frekvence Matsubary . arXiv: hep-ph / 9311210 Úložiště Github: MatsubaraSum Balíček Mathematica pro součet frekvencí Matsubara.A. Taheridehkordi, S. Curnoe, J.P.F. LeBlanc: Algoritmická integrace Matsubara pro modely podobné Hubbardovi. . arXiv: cond-mat / 1808.05188 Reference ^ A. Abrikosov , L. Gor'kov , I. Dzyaloshinskii : Metody teorie kvantového pole ve statistické fyzice. , New York, Dover Publ., 1975, ISBN 0-486-63228-8^ [Piers Coleman]: Úvod do fyziky mnoha těl. , Cambridge University Press., 2015, ISBN 978-0-521-86488-6 
![{ displaystyle eta lim _ { Omega rightarrow infty} left [ int _ {- i Omega} ^ {i Omega} { frac { mathrm {d} (i omega)} { 2 pi}} left ( ln (-i omega + xi) - { frac { pi xi} {2 Omega}} right) - { frac { Omega} { pi} } ( ln Omega -1) right] = left {{ begin {array} {cc} 0 & xi geq 0, - eta xi & xi <0, end {pole }}že jo.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c939acd61dc3f39c4c14aa6558815b5639264ec)
