Mathieuova vlnka - Mathieu wavelet

Mathieuova rovnice je lineární diferenciální rovnice druhého řádu s periodickými koeficienty. Francouzský matematik E. Léonard Mathieu poprvé představil tuto rodinu diferenciálních rovnic, dnes nazývaných Mathieuovy rovnice, ve své „Paměti o vibracích eliptické membrány“ v roce 1868. „Mathieuovy funkce jsou použitelné pro širokou škálu fyzikálních jevů, např. , difrakce, amplitudové zkreslení, obrácené kyvadlo, stabilita plovoucího tělesa, vysokofrekvenční kvadrupól a vibrace v médiu s modulovanou hustotou "^[1]

Vlny eliptického válce

Toto je široká rodina vlnkových systémů, která poskytuje a multirezoluční analýza. Velikost detailu a vyhlazovacích filtrů odpovídá prvnímu druhu Funkce Mathieu s lichým charakteristickým exponentem. Počet zářezů těchto filtrů lze snadno určit výběrem charakteristického exponentu. Vlny eliptického válce odvozené touto metodou ^[2] mají potenciální uplatnění v oblastech optika a elektromagnetismus díky své symetrii.

Mathieuovy diferenciální rovnice

Mathieuova rovnice souvisí s vlnovou rovnicí pro eliptický válec. V roce 1868 francouzský matematik Émile Léonard Mathieu představil rodinu diferenciálních rovnic, dnes označovaných Mathieuovy rovnice.^[3]

Dáno ${displaystyle ain mathbb {R}, qin mathbb {C}}$ , Mathieuova rovnice je dána vztahem

{displaystyle {frac {d ^ {2} y} {dw ^ {2}}} + (a-2qcos 2w) y = 0.}

Mathieuova rovnice je lineární diferenciální rovnice druhého řádu s periodickými koeficienty. Pro q = 0, redukuje se na známý harmonický oscilátor, A je druhou mocninou frekvence.^[4]

Řešením Mathieuovy rovnice je harmonická eliptický válec, známá jako Funkce Mathieu. Už dlouho se používají na širokou škálu problémů vlnovodů zahrnujících eliptickou geometrii, včetně:

analýza slabého vedení pro eliptické jádro s krokovým indexem optická vlákna
přenos energie eliptické vlnovody
vyhodnocování vyzařovaných vln eliptických klaksonové antény
eliptický prstencový mikropáskové antény s libovolnou výstředností ${displaystyle u}$ )
rozptyl potaženým pruhem.

Mathieuovy funkce: kosinovo-eliptické a sine-eliptické funkce

Obecně platí, že řešení Mathieuovy rovnice nejsou periodická. Avšak pro danou věc q, existují periodická řešení pro nekonečně mnoho speciálních hodnot (vlastních čísel) A. Pro několik fyzicky relevantních řešení y musí být periodické ${displaystyle pi}$ nebo ${displaystyle 2pi}$ . Je vhodné rozlišovat sudá a lichá periodická řešení, která se nazývají Funkce Mathieu prvního druhu.

Lze uvažovat o jednom ze čtyř jednodušších typů: Periodické řešení ( ${displaystyle pi}$ nebo ${displaystyle 2pi}$ ) symetrie (sudá nebo lichá).

Pro ${displaystyle qeq 0}$ , jediná periodická řešení y odpovídající jakékoli charakteristické hodnotě ${displaystyle a = a_ {r} (q)}$ nebo ${displaystyle a = b_ {r} (q)}$ mít následující notace:

ce a se jsou zkratky pro kosinovo-eliptické, respektive sine-eliptické.

Dokonce i periodické řešení:
${displaystyle ce_ {r} (omega, q) = součet _ {m} A_ {r, m} cos {momega} {ext {for}} a = a_ {r} (q)}$
Zvláštní periodické řešení:
${displaystyle se_ {r} (omega, q) = součet _ {m} A_ {r, m} sin {momega} {ext {for}} a = b_ {r} (q)}$

kde součty jsou převzaty sudé (respektive liché) hodnoty m pokud období y je ${displaystyle pi}$ (příslušně) ${displaystyle 2pi}$ ).

Dáno r, označujeme od nynějška ${displaystyle A_ {r, m}}$ podle ${displaystyle A_ {m}}$ , zkráceně.

Zajímavé vztahy se nacházejí, když ${displaystyle q o 0}$ , ${displaystyle req 0}$ :

{displaystyle lim _ {q o 0} ce_ {r} (omega, q) = cos {romega}}

{displaystyle lim _ {q o 0} se_ {r} (omega, q) = sin {romega}}

Obrázek 1 ukazuje dva ilustrativní průběhy eliptických kosinů, jejichž tvar silně závisí na parametrech ${displaystyle u}$ a q.

Obrázek 1. Některé grafy ${displaystyle 2pi}$ -periodické 1. druhy, dokonce i funkce Mathieu. Tvar eliptických kosinů pro následující sadu parametrů: a) ${displaystyle u = 1}$ = a q = 5; b) ${displaystyle u = 5}$ = a q = 5.

Filtry pro multirezoluční analýzu a Mathieuova rovnice

Vlnky jsou označeny ${displaystyle psi (t)}$ a funkce škálování podle ${displaystyle phi (t)}$ , s odpovídajícími spektry ${displaystyle Psi (omega)}$ a ${displaystyle Phi (omega)}$ , resp.

Rovnice ${displaystyle phi (t) = {sqrt {2}} součet _ {nin Z} h_ {n} phi (2t-n)}$ , který je známý jako dilatace nebo upřesňující rovnice, je hlavní vztah určující a Analýza více řešení (MRA).

${displaystyle H (omega) = {frac {1} {sqrt {2}}} součet _ {kin Z} h_ {k} e ^ {jomega k}}$ je přenosová funkce vyhlazovacího filtru.

${displaystyle G (omega) = {frac {1} {sqrt {2}}} součet _ {kin Z} g_ {k} e ^ {jomega k}}$ je přenosová funkce podrobného filtru.

Přenosová funkce „podrobného filtru“ Mathieuovy vlnky je

{displaystyle G_ {u} (omega) = e ^ {j (u -2) [{frac {omega -pi} {2}}]}}. {frac {ce_ {u} ({frac {omega -pi} { 2}}, q)} {ce_ {u} (0, q)}}.}

Přenosová funkce „vyhlazovacího filtru“ Mathieuovy wavelety je

{displaystyle H_ {u} (omega) = - e ^ {ju [{frac {omega} {2}}]}}. {frac {ce_ {u} ({frac {omega} {2}}, q)} { ce_ {u} (0, q)}}.}

Charakteristický exponent ${displaystyle u}$ by měly být zvoleny tak, aby zaručovaly vhodné počáteční podmínky, tj. ${displaystyle G_ {u} (0) = 0}$ a ${displaystyle G_ {u} (pi) = 1}$ , které jsou kompatibilní s požadavky na vlnkový filtr. Proto, ${displaystyle u}$ musí být liché.

Velikost přenosové funkce přesně odpovídá modulu eliptického sinu:

Příklady funkce přenosu filtru pro Mathieu MRA jsou uvedeny na obrázku 2. Hodnota A je upraven na vlastní číslo v každém případě vede k periodickému řešení. Taková řešení představují řadu ${displaystyle u}$ nuly v intervalu ${displaystyle 0leq | omega | leq pi}$ .

Obrázek 2 - Velikost přenosové funkce pro filtry multirezoluční analýzy Mathieu. (vyhlazovací filtr ${displaystyle H_ {u} (omega)}$ a podrobný filtr ${displaystyle G_ {u} (omega)}$ pro několik Mathieuových parametrů.) (a) ${displaystyle u = 1}$ , q=5, A = 1,85818754 ...; b) ${displaystyle u = 1}$ , q = 10, A = −2,3991424 ...; (C) ${displaystyle u = 5}$ , q = 10, A = 25,5499717 ...; d) ${displaystyle u = 5}$ , q = 10, A = 27.70376873...

The G a H filtrační koeficienty Mathieu MRA lze vyjádřit hodnotami ${displaystyle {A_ {2l + 1}} _ {lin Z}}$ funkce Mathieu jako:

{displaystyle {frac {h_ {l}} {sqrt {2}}} = - {frac {A_ {| 2l + 1 |} / 2} {ce_ {u} (0, q)}}}

{displaystyle {frac {g_ {l}} {sqrt {2}}} = (- 1) ^ {l} {frac {A_ {| 2l-3 |} / 2} {ce_ {u} (0, q) }}}

Mezi koeficienty existují relace opakování:

{displaystyle (a-1-q) A_ {1} -qA_ {3} = 0}

{displaystyle (a-m ^ {2}) A_ {m} -q (A_ {m-2} + A_ {m + 2} = 0}

pro ${displaystyle mgeq 3}$ , m zvláštní.

Je jednoduché to ukázat ${displaystyle h _ {- l} = h_ {| l | -1}}$ , ${displaystyle forall l> 0}$ .

Normalizační podmínky jsou ${displaystyle sum _ {k = -infty} ^ {k = + infty} {h_ {k} = - 1}}$ a ${displaystyle sum _ {k = -infty} ^ {k = + infty} {(- 1) ^ {k} h_ {k} = 0}}$ .

Křivka vln Mathieu

Mathieuovy vlnky lze odvodit z filtru rekonstrukce dolní propusti pomocí kaskádový algoritmus. Filtry Infinite Impulse Response (IIR filtr ) by se mělo používat, protože Mathieu wavelet nemá žádné kompaktní podpora. Obrázek 3 ukazuje vznikající vzor, který postupně vypadá jako tvar vlnky. V závislosti na parametrech A a q některé tvary vln (např. obr. 3b) mohou mít poněkud neobvyklý tvar.

Obrázek 3: Aproximace Mathieuových waveletů na základě FIR. Filtrační koeficienty drží h < 10⁻¹⁰ byly vyhozeny (v obou případech 20 zadržených koeficientů na filtr.) a) Mathieu Wavelet s ν = 5 a q = 5 a (b) Mathieuova vlnka s ν = 1 a q = 5.

Reference

^ L. Ruby, „Aplikace Mathieuovy rovnice,“ Am. J. Phys., Sv. 64, s. 39–44, leden 1996
^ M.M.S. Lira, H.M. de Oiveira, R.J.S. Cintra. Elipticko-válcové vlnky: Mathieuovy vlnky,Dopisy pro zpracování signálu IEEE, sv. 11, č. 1, leden, s. 52–55, 2004.
^ E. Mathieu, Mémoire sur le mouvement vibratoire d'une membrána formy eliptiky, J. Math. Pures Appl., sv. 13, 1868, s. 137–203.
^ N.W. McLachlan, Theory and Application of Mathieu Functions, New York: Dover, 1964.

[1] L. Ruby, „Aplikace Mathieuovy rovnice,“ Am. J. Phys., Sv. 64, s. 39–44, leden 1996

[2] M.M.S. Lira, H.M. de Oiveira, R.J.S. Cintra. Elipticko-válcové vlnky: Mathieuovy vlnky,Dopisy pro zpracování signálu IEEE, sv. 11, č. 1, leden, s. 52–55, 2004.

[3] E. Mathieu, Mémoire sur le mouvement vibratoire d'une membrána formy eliptiky, J. Math. Pures Appl., sv. 13, 1868, s. 137–203.

[4] N.W. McLachlan, Theory and Application of Mathieu Functions, New York: Dover, 1964.

[1]

[2]

[3]

[4]