Kaskádový algoritmus - Cascade algorithm

V matematický téma vlnka teorie, kaskádový algoritmus je numerická metoda pro výpočet funkčních hodnot základny škálování a vlnka funkce a diskrétní vlnková transformace pomocí iteračního algoritmu. Začíná to od hodnot na hrubém sledu vzorkovacích bodů a vytváří hodnoty pro postupně hustěji rozmístěné sekvence vzorkovacích bodů. Protože na výstup předchozí aplikace aplikuje stejnou operaci znovu a znovu, je známá jako kaskádový algoritmus.

Postupná aproximace

Iterativní algoritmus generuje postupné aproximace k ψ (t) nebo φ (t) z {h} a {G} filtrační koeficienty. Pokud algoritmus konverguje do pevného bodu, pak je tento pevný bod základní funkcí škálování nebo wavelet.

Iterace jsou definovány pomocí

${displaystyle varphi ^ {(k + 1)} (t) = součet _ {n = 0} ^ {N-1} h [n] {sqrt {2}} varphi ^ {(k)} (2t-n) }$

Pro kth iterace, kde počáteční φ⁽⁰⁾(t) musí být uveden.

Odhady základní škálovací funkce ve frekvenční doméně jsou dány vztahem

${displaystyle Phi ^ {(k + 1)} (omega) = {frac {1} {sqrt {2}}} Hleft ({frac {omega} {2}} ight) Phi ^ {(k)} vlevo ({ frac {omega} {2}} ight)}$

a limit lze chápat jako nekonečný produkt ve formě

${displaystyle Phi ^ {(infty)} (omega) = prod _ {k = 1} ^ {infty} {frac {1} {sqrt {2}}} Hleft ({frac {omega} {2 ^ {k}} } ight) Phi ^ {(infty)} (0).}$

Pokud takový limit existuje, je spektrum škálovací funkce

${displaystyle Phi (omega) = prod _ {k = 1} ^ {infty} {frac {1} {sqrt {2}}} Hleft ({frac {omega} {2 ^ {k}}} hned) Phi ^ { (infty)} (0)}$

Limita nezávisí na předpokládaném počátečním tvaru pro φ⁽⁰⁾(t). Tento algoritmus spolehlivě konverguje na φ (t), i když je přerušovaný.

Z této funkce škálování lze vlnku generovat z

${displaystyle psi (t) = součet _ {n = -infty} ^ {infty} g [n] {sqrt {2}} varphi ^ {(k)} (2t-n).}$

Postupné přiblížení lze odvodit také ve frekvenční doméně.

Reference

• C.S. Burrus, R.A. Gopinath, H. Guo, Úvod do waveletů a vlnkových transformací: Primer, Prentice-Hall, 1988, ISBN  0-13-489600-9.
• http://cnx.org/content/m10486/latest/
• https://web.archive.org/web/20070615055323/http://cm.bell-labs.com/cm/ms/who/wim/cascade/index.html