Maklaurinová nerovnost - Maclaurins inequality - Wikipedia

v matematika, Maclaurinova nerovnost, pojmenoval podle Colin Maclaurin, je zdokonalením nerovnost aritmetických a geometrických prostředků.

Nechat A₁, A₂, ..., A_n být pozitivní reálná čísla, a pro k = 1, 2, ..., n definovat průměry S_k jak následuje:

${ displaystyle S_ {k} = { frac { displaystyle suma _ {1 leq i_ {1} < cdots$

Čitatelem této frakce je elementární symetrický polynom stupně k v n proměnné A₁, A₂, ..., A_n, tj. součet všech produktů z k čísel A₁, A₂, ..., A_n s indexy v rostoucím pořadí. Jmenovatel je počet termínů v čitateli, binomický koeficient ${ displaystyle scriptstyle {n vyberte k}.}$

Maclaurinova nerovnost je následující řetězec nerovnosti:

${ displaystyle S_ {1} geq { sqrt {S_ {2}}} geq { sqrt [{3}] {S_ {3}}} geq cdots geq { sqrt [{n}] {S_ {n}}}}$

s rovností právě tehdy, když všechny A_i jsou rovny.

Pro n = 2, to dává obvyklou nerovnost aritmetických a geometrických průměrů dvou čísel. Maclaurinova nerovnost je dobře ilustrována případem n = 4:

${ displaystyle { begin {aligned} & {} quad { frac {a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + a_ {4}} {4}} [8pt] & {} geq { sqrt { frac {a_ {1} a_ {2} + a_ {1} a_ {3} + a_ {1} a_ {4} + a_ {2} a_ {3} + a_ {2} a_ {4} + a_ {3} a_ {4}} {6}}} [8pt] & {} geq { sqrt [{3}] { frac {a_ {1} a_ {2} a_ { 3} + a_ {1} a_ {2} a_ {4} + a_ {1} a_ {3} a_ {4} + a_ {2} a_ {3} a_ {4}} {4}}} [ 8pt] & {} geq { sqrt [{4}] {a_ {1} a_ {2} a_ {3} a_ {4}}}. End {zarovnáno}}}$

Maclaurinovu nerovnost lze prokázat pomocí Newtonovy nerovnosti.

Viz také

• Newtonovy nerovnosti
• Muirheadova nerovnost
• Zobecněná střední nerovnost

Reference

• Biler, Piotr; Witkowski, Alfred (1990). Problémy v matematické analýze. New York, NY: M. Dekker. ISBN  0-8247-8312-3.

Tento článek včlení materiál od MacLaurinovy ​​Nerovnosti dále PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.