Lyapunov – Schmidtova redukce - Lyapunov–Schmidt reduction

V matematice je Lyapunov – Schmidtova redukce nebo Stavba Lyapunov – Schmidt se používá ke studiu řešení nelineárních rovnic v případě, že věta o implicitní funkci nefunguje. Umožňuje redukci nekonečně rozměrných rovnic v Banachových prostorech na konečněrozměrné rovnice. Je pojmenován po Aleksandr Lyapunov a Erhard Schmidt.

Nastavení problému

Nechat

${ displaystyle f (x, lambda) = 0 ,}$

být danou nelineární rovnicí, ${ displaystyle X, Lambda,}$ a ${ displaystyle Y}$ jsouBanachovy prostory (${ displaystyle Lambda}$ je prostor parametrů). ${ displaystyle f (x, lambda)}$ je${ displaystyle C ^ {p}}$-mapa ze sousedství nějakého bodu ${ displaystyle (x_ {0}, lambda _ {0}) v X krát Lambda}$ na${ displaystyle Y}$ a rovnice je v tomto bodě splněna

${ displaystyle f (x_ {0}, lambda _ {0}) = 0.}$

Pro případ, kdy lineární operátor ${ displaystyle f_ {x} (x, lambda)}$ je invertibilní, věta o implicitní funkci zajišťuje, že existuje řešení ${ displaystyle x ( lambda)}$ splnění rovnice ${ displaystyle f (x ( lambda), lambda) = 0}$ alespoň místně blízko ${ displaystyle lambda _ {0}}$.

V opačném případě, když lineární operátor ${ displaystyle f_ {x} (x, lambda)}$ je nezvratný, lze použít Lyapunov – Schmidtovu redukci následujícím způsobem.

Předpoklady

Jeden předpokládá, že operátor ${ displaystyle f_ {x} (x, lambda)}$ je Operátor Fredholm.

${ displaystyle ker f_ {x} (x_ {0}, lambda _ {0}) = X_ {1}}$ a ${ displaystyle X_ {1}}$ má konečný rozměr.

The rozsah tohoto operátora ${ displaystyle mathrm {ran} f_ {x} (x_ {0}, lambda _ {0}) = Y_ {1}}$ má konečný společná dimenze a je uzavřený podprostor v ${ displaystyle Y}$.

Bez ztráty všeobecnosti to lze předpokládat ${ displaystyle (x_ {0}, lambda _ {0}) = (0,0).}$

Stavba Lyapunov – Schmidt

Pojďme se rozdělit ${ displaystyle Y}$ do přímého produktu ${ displaystyle Y = Y_ {1} oplus Y_ {2}}$, kde ${ displaystyle dim Y_ {2} < infty}$.

Nechat ${ displaystyle Q}$ být operátor projekce na ${ displaystyle Y_ {1}}$.

Zvažte také přímý produkt ${ displaystyle X = X_ {1} oplus X_ {2}}$.

Uplatňování operátorů ${ displaystyle Q}$ a ${ displaystyle I-Q}$ k původní rovnici získáme ekvivalentní systém

${ displaystyle Qf (x, lambda) = 0 ,}$

${ displaystyle (I-Q) f (x, lambda) = 0 ,}$

Nechat ${ displaystyle x_ {1} v X_ {1}}$ a ${ displaystyle x_ {2} v X_ {2}}$, pak první rovnice

${ displaystyle Qf (x_ {1} + x_ {2}, lambda) = 0 ,}$

lze vyřešit s ohledem na ${ displaystyle x_ {2}}$ aplikací věty o implicitní funkci na operátora

${ displaystyle Qf (x_ {1} + x_ {2}, lambda): quad X_ {2} times (X_ {1} times Lambda) to Y_ {1} ,}$

(nyní jsou splněny podmínky věty o implicitní funkci).

Existuje tedy jedinečné řešení ${ displaystyle x_ {2} (x_ {1}, lambda)}$ uspokojující

${ displaystyle Qf (x_ {1} + x_ {2} (x_ {1}, lambda), lambda) = 0. ,}$

Nyní střídání ${ displaystyle x_ {2} (x_ {1}, lambda)}$ do druhé rovnice získáme konečnou konečnou trojrozměrnou rovnici

${ displaystyle (I-Q) f (x_ {1} + x_ {2} (x_ {1}, lambda), lambda) = 0. ,}$

Poslední rovnice je nyní konečně trojrozměrná, protože rozsah ${ displaystyle (I-Q)}$ je konečně-dimenzionální. Tuto rovnici je nyní třeba vyřešit s ohledem na ${ displaystyle x_ {1}}$, který je konečně-dimenzionální, a parametry:${ displaystyle lambda}$

Aplikace

Lyapunov – Schmidtova redukce se používá v ekonomii, přírodních vědách a strojírenství^[1] často v kombinaci s teorie bifurkace, teorie poruch, a regulace.^[1][2][3] Redukce LS se často používá k důsledné regularizaci parciální diferenciální rovnice modely v chemické inženýrství výsledkem jsou modely, které lze snáze simulovat numericky ale přesto zachovat všechny parametry původního modelu.^[3][4][5]

Reference

Bibliografie

• Louis Nirenberg, Témata v nelineární funkční analýze, New York Univ. Přednášky, 1974.
• Aleksandr Lyapunov, Sur les Figures d’équilibre peu différents des ellipsoides d’une masse liquide homogène douée d’un mouvement de rotation, Zap. Akad. Nauk Petrohrad (1906), 1–225.
• Aleksandr Lyapunov, Problème général de la stabilité du mouvement, Ann. Fac. Sci. Toulouse 2 (1907), 203–474.
• Erhard Schmidt, Zur Theory der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, 3 Teil, Math. Annalen 65 (1908), 370–399.