Liénardova rovnice - Liénard equation - Wikipedia

v matematika, konkrétněji při studiu dynamické systémy a diferenciální rovnice, a Liénardova rovnice^[1] je diferenciální rovnice druhého řádu, pojmenovaná podle francouzského fyzika Alfred-Marie Liénard.

Během vývoje rádio a elektronka technologie, Liénardovy rovnice byly intenzivně studovány, protože je lze použít k modelování oscilační obvody. Za určitých dalších předpokladů Liénardova věta zaručuje jedinečnost a existenci a mezní cyklus pro takový systém.

Definice

Nechat F a G být dva průběžně diferencovatelné funkce zapnuty R, s G an lichá funkce a F an sudá funkce. Pak druhá objednávka obyčejná diferenciální rovnice formuláře

${ displaystyle {d ^ {2} x nad dt ^ {2}} + f (x) {dx nad dt} + g (x) = 0}$

se nazývá Liénardova rovnice.

Liénardův systém

Rovnici lze převést na ekvivalentní dvourozměrný soustava obyčejných diferenciálních rovnic. Definujeme

${ displaystyle F (x): = int _ {0} ^ {x} f ( xi) d xi}$

${ displaystyle x_ {1}: = x}$

${ displaystyle x_ {2}: = {dx over dt} + F (x)}$

pak

${ displaystyle { begin {bmatrix} { dot {x}} _ {1} { dot {x}} _ {2} end {bmatrix}} = mathbf {h} (x_ {1} , x_ {2}): = { begin {bmatrix} x_ {2} -F (x_ {1}) - g (x_ {1}) end {bmatrix}}}$

se nazývá a Liénardův systém.

Alternativně, protože samotná Liénardova rovnice je také autonomní diferenciální rovnice, střídání ${ displaystyle v = {dx over dt}}$ vede Liénardovu rovnici k tomu, aby se stal diferenciální rovnice prvního řádu:

${ displaystyle v {dv over dx} + f (x) v + g (x) = 0}$

kterému patří Ábelova rovnice druhého druhu.^[2][3]

Příklad

The Van der Pol oscilátor

${ displaystyle {d ^ {2} x over dt ^ {2}} - mu (1-x ^ {2}) {dx over dt} + x = 0}$

je Liénardova rovnice. Řešení Van der Pol oscilátoru má limitní cyklus. Takový cyklus má řešení Liénardovy rovnice se záporem ${ displaystyle f (x)}$ v malém ${ displaystyle | x |}$ a pozitivní ${ displaystyle f (x)}$ v opačném případě. Van der Pol rovnice nemá přesné analytické řešení. Takové řešení pro limitní cyklus existuje, pokud ${ displaystyle f (x)}$ je konstantní po částech funkce.^[4]

Liénardova věta

Systém Liénard má unikátní a stabilní mezní cyklus obklopující původ, pokud splňuje následující další vlastnosti:^[5]

• G(X)> 0 pro všechny X > 0;
• ${ displaystyle lim _ {x to infty} F (x): = lim _ {x to infty} int _ {0} ^ {x} f ( xi) d xi = infty;}$
• F(X) má při určité hodnotě přesně jeden kladný kořen p, kde F(X) <0 pro 0 < X < p a F(X)> 0 a monotónní pro X > p.

Viz také

• Autonomní diferenciální rovnice
• Ábelova rovnice druhého druhu
• Biryukovova rovnice

Poznámky pod čarou

externí odkazy

• "Liénardova rovnice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• LienardSystem na PlanetMath.