Biryukovova rovnice - Biryukov equation

Zdá se, že hlavní přispěvatel do tohoto článku má úzké spojení s jeho předmětem. Může vyžadovat vyčištění, aby vyhovovalo zejména obsahovým zásadám Wikipedie neutrální hledisko. Diskutujte prosím dále o diskusní stránka. (Ledna 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Sinusové oscilace F = 0.01

The Biryukovova rovnice (nebo Biryukovův oscilátor), pojmenovaný podle Vadima Biryukova (1946), je nelineární druhého řádu diferenciální rovnice slouží k modelování tlumených oscilátory.^[1]

Rovnice je dána vztahem

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + f (y) { frac {dy} {dt}} + y = 0, qquad qquad (1)}$

kde ƒ(y) je po částech konstantní funkce, která je pozitivní, s výjimkou malých y tak jako

${ displaystyle f (y) = { begin {cases} -F, & | y | leq Y_ {0}; F, & | y |> Y_ {0}. end {cases}}}$

${ displaystyle F = { text {constant}}> 0, quad Y_ {0} = { text {constant}}> 0.}$

Rov. (1) je zvláštní případ Lienardova rovnice; popisuje auto-oscilace.

Řešení (1) v samostatných časových intervalech, kdy f (y) je konstantní, je dáno vztahem^[2]

${ displaystyle y_ {k} (t) = A_ {1, k} exp (s_ {1, k} t) + A_ {2, k} exp (s_ {2, k} t) qquad qquad (2)}$

Tady ${ displaystyle s_ {k} = F / 2 mp { sqrt {(F / 2) ^ {2} -1}}}$ , na ${ displaystyle | y |$ a ${ displaystyle s_ {k} = - F / 2 mp { sqrt {(F / 2) ^ {2} -1}}}$ v opačném případě. Výraz (2) lze použít pro skutečné a komplexní hodnoty ${ displaystyle s_ {k}}$.

Řešení první poloviny období v ${ displaystyle y (0) = pm Y_ {0}}$ je

Relaxační oscilace F = 4

${ displaystyle y (t) = { begin {cases} y_ {1} (t), & 0 leq t$

${ displaystyle y_ {1} (t) = A_ {1, k} cdot exp (s_ {1, k} t) + A_ {2, k} cdot exp (s_ {2, k} t) ,}$

${ displaystyle y_ {2} (t) = A_ {3, k} cdot exp (s_ {3, k} t) + A_ {4, k} cdot exp (s_ {4, k} t) .}$

Řešení druhé poloviny období je

${ displaystyle y (t) = { begin {cases} -y_ {1} (tT / 2), & T / 2 leq t$

Řešení obsahuje čtyři konstanty integrace ${ displaystyle A_ {1}}$, ${ displaystyle A_ {2}}$, ${ displaystyle A_ {3}}$, ${ displaystyle A_ {4}}$, období ${ displaystyle T}$ a hranice ${ displaystyle T_ {0}}$ mezi ${ displaystyle y_ {1} (t)}$ a ${ displaystyle y_ {2} (t)}$ je třeba najít. Okrajová podmínka je odvozena z kontinuity ${ displaystyle y (t)}$) a ${ displaystyle dy / dt}$.^[3]

Řešení (1) ve stacionárním režimu tedy získáme řešením systému algebraických rovnic jako

${ displaystyle y_ {1} (0) = - Y_ {0}}$; ${ displaystyle y_ {1} (T_ {0}) = Y_ {0}}$; ${ displaystyle y_ {2} (T_ {0}) = Y_ {0}}$; ${ displaystyle y_ {2} (T / 2) = Y_ {0}}$;${ displaystyle left. { begin {matrix} dy_ {1} / dt end {matrix}} right | _ {T_ {0}} = left. { begin {matrix} dy_ {2} / dt end {matrix}} doprava | _ {T_ {0}}}$;${ displaystyle left. { begin {matrix} dy_ {1} / dt end {matrix}} right | _ {0} = - left. { begin {matrix} dy_ {2} / dt end {matrix}} doprava | _ {T / 2} ; ; ; (3)}$.

Integrační konstanty jsou získány Algoritmus Levenberg – Marquardt. S ${ displaystyle f (y) = mu (-1 + y ^ {2})}$, ${ displaystyle mu = const> 0}$, Ekv. (1) pojmenovaný Van der Pol oscilátor. Jeho řešení nelze vyjádřit elementárními funkcemi v uzavřené formě.

Reference