Leslieho matice - Leslie matrix

v aplikovaná matematika, Leslieho matice je oddělený, věkově strukturované model populační růst to je velmi populární v populační ekologie. To bylo vynalezeno a pojmenováno po Patrick H. Leslie. Leslie matice (také nazývaný Leslieho model) je jedním z nejznámějších způsobů, jak popsat růst populací (a jejich předpokládané věkové rozdělení), v nichž je populace uzavřena migraci, roste v neomezeném prostředí a kde pouze jedno pohlaví obvykle ženský, je považován.

Matice Leslie se používá v ekologie modelovat změny v populaci organismů po určitou dobu. V modelu Leslie je populace rozdělena do skupin na základě věkových tříd. Podobný model, který nahrazuje věkové třídy ontogenetická stadia se nazývá Lefkovitchova matice,^[1] přičemž jednotlivci mohou oba zůstat ve stejné divadelní třídě nebo přejít na další. V každém časovém kroku je populace reprezentována a vektor s prvkem pro každou věkovou třídu, kde každý prvek označuje počet osob aktuálně v dané třídě.

Matice Leslie je čtvercová matice se stejným počtem řádků a sloupců, jako má vektor populace prvky. (I, j) th buňka v matici udává, kolik jedinců bude ve věkové třídě i v dalším časovém kroku pro každého jednotlivce ve fázi j. V každém časovém kroku se populační vektor vynásobí Leslieho maticí, aby se vygeneroval populační vektor pro následující časový krok.

Chcete-li vytvořit matici, musíte znát některé informace z populace:

${ displaystyle n_ {x}}$ , počet jednotlivců (n) každé věkové třídy X
${ displaystyle s_ {x}}$ , podíl jednotlivců, kteří přežili z věkové třídy X do věkové třídy x + 1,
${ displaystyle f_ {x}}$ , úrodnost, na hlavu průměrný počet potomků dosáhl ${ displaystyle n_ {0}}$ narozena matce věkové třídy X. Přesněji to lze považovat za počet potomků vyprodukovaných v příští věkové třídě ${ displaystyle b_ {x + 1}}$ váženo pravděpodobností dosažení další věkové třídy. Proto, ${ displaystyle f_ {x} = s_ {x} b_ {x + 1}.}$

Z pozorování, že ${ displaystyle n_ {0}}$ v čase t + 1 je prostě součet všech potomků narozených z předchozího časového kroku a těch, které organismy přežily do času t + 1 jsou organismy v čase t přežít s pravděpodobností ${ displaystyle s_ {x}}$ , jeden dostane ${ displaystyle n_ {x + 1} = s_ {x} n_ {x}}$ . Z toho pak vyplývá následující maticová reprezentace:

{ displaystyle { begin {bmatrix} n_ {0} n_ {1} vdots n _ { omega -1} end {bmatrix}} _ {t + 1} = { begin {bmatrix} f_ {0} & f_ {1} & f_ {2} & ldots & f _ { omega -2} & f _ { omega -1} s_ {0} & 0 & 0 & ldots & 0 & 0 0 & s_ {1} & 0 & ldots & 0 & 0 0 & 0 & s_ {2} & ldots & 0 & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots 0 & 0 & 0 & ldots & s _ { omega -2} & 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} n_ {0} n_ {1} vdots n _ { omega -1} end {bmatrix}} _ {t}}

kde ${ displaystyle omega}$ je maximální dosažitelný věk v populaci.

To lze zapsat jako:

{ displaystyle mathbf {n} _ {t + 1} = mathbf {L} mathbf {n} _ {t}}

nebo:

{ displaystyle mathbf {n} _ {t} = mathbf {L} ^ {t} mathbf {n} _ {0}}

kde ${ displaystyle mathbf {n} _ {t}}$ je populační vektor v čase t a ${ displaystyle mathbf {L}}$ je Leslieho matice. Dominantní vlastní číslo z ${ displaystyle mathbf {L}}$ , označeno ${ displaystyle lambda}$ udává rychlost asymptotického růstu populace (rychlost růstu při stabilním rozdělení věku). Korespondence vlastní vektor poskytuje stabilní věkové rozdělení, podíl jednotlivců každého věku v populaci, který v tomto bodě asymptotického růstu zůstává konstantní a vylučuje změny vitálních rychlostí.^[2] Jakmile je dosaženo stabilního rozdělení věku, populace prochází exponenciální růst rychlostí ${ displaystyle lambda}$ .

The charakteristický polynom matice je dána Euler-Lotkova rovnice.

Model Leslie je velmi podobný diskrétnímu času Markovův řetězec. Hlavní rozdíl je v tom, že v Markovově modelu by se jednalo ${ displaystyle f_ {x} + s_ {x} = 1}$ pro každého ${ displaystyle x}$ , zatímco model Leslie může mít tyto součty větší nebo menší než 1.

Stabilní věková struktura

Tento věkově strukturovaný model růstu naznačuje ustálenou nebo stabilní věkovou strukturu a rychlost růstu. Bez ohledu na počáteční velikost populace ${ displaystyle N_ {0}}$ nebo věkové rozdělení má populace asymptoticky sklon k této věkové struktuře a rychlosti růstu. Po narušení se také vrací do tohoto stavu. The Euler-Lotkova rovnice poskytuje prostředky k identifikaci vnitřní míry růstu. Stabilní věková struktura je určena jak růstovou rychlostí, tak funkcí přežití (tj. Leslieho matice). Například populace s velkým vnitřním tempem růstu bude mít nepoměrně „mladou“ věkovou strukturu. Populace s vysokou mírou úmrtnosti všech věkových skupin (tj. S nízkým přežitím) bude mít podobnou věkovou strukturu. Charlesworth (1980) poskytuje další podrobnosti o rychlosti a formě konvergence ke stabilní věkové struktuře.

Náhodný případ Leslie

Existuje zobecnění tempa růstu populace, kdy má Leslieho matice náhodné prvky, které mohou být korelovány. Při charakterizaci poruchy nebo nejistoty v životně důležitých parametrech; k řešení lineárních nezáporných hodnot je třeba použít perturbativní formalismus náhodná matice rozdílové rovnice. Potom lze jako efektivní rychlost růstu prezentovat netriviální a efektivní vlastní hodnotu, která definuje dlouhodobou asymptotickou dynamiku vektoru stavu populace střední hodnoty. Toto vlastní číslo a přidružený vektor invariantního stavu střední hodnoty lze vypočítat z nejmenšího kladného kořene sekulárního polynomu a zbytku zelené funkce se střední hodnotou. Přesné a rušivé výsledky lze tedy analyzovat u několika modelů poruch.

Reference

^ Hal Caswell (2001). Maticové populační modely: konstrukce, analýza a interpretace. Sinauer.
^ Mills, L. Scott. (2012). Ochrana populací volně žijících živočichů: demografie, genetika a management. John Wiley & Sons. str. 104. ISBN 978-0-470-67150-4.

Zdroje

Krebs CJ (2001) Ekologie: experimentální analýza distribuce a hojnosti (5. vydání). San Francisco. Benjamin Cummings.
Charlesworth, B. (1980) Evoluce ve věkově strukturované populaci. Cambridge. Cambridge University Press
Leslie, P.H. (1945) „Využití matic v určité populační matematice“. Biometrika, 33(3), 183–212.
Leslie, P.H. (1948) „Několik dalších poznámek k používání matic v populační matematice“. Biometrika, 35(3–4), 213–245.
Lotka, A.J. (1956) Základy matematické biologie. New York. Dover Publications Inc.
Kot, M. (2001) Základy matematické ekologie, Cambridge. Cambridge University Press.

[1] Hal Caswell (2001). Maticové populační modely: konstrukce, analýza a interpretace. Sinauer.

[2] Mills, L. Scott. (2012). Ochrana populací volně žijících živočichů: demografie, genetika a management. John Wiley & Sons. str. 104. ISBN 978-0-470-67150-4.

[1]

[2]