Lehmer znamená - Lehmer mean

V matematice je Lehmer znamená a n-tice ${displaystyle x}$ pozitivní reálná čísla, pojmenoval podle Derrick Henry Lehmer,^[1] je definován jako:

${displaystyle L_ {p} (mathbf {x}) = {frac {sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} ^ {p}} {sum _ {k = 1} ^ {n} x_ { k} ^ {p-1}}}.}$

The vážený Lehmer průměr s ohledem na n-tici ${displaystyle w}$ kladných vah je definována jako:

${displaystyle L_ {p, w} (mathbf {x}) = {frac {sum _ {k = 1} ^ {n} w_ {k} cdot x_ {k} ^ {p}} {sum _ {k = 1 } ^ {n} w_ {k} cdot x_ {k} ^ {p-1}}}.}$

Lehmerův průměr je alternativou k mocenské prostředky pro interpolovat mezi minimální a maximum přes aritmetický průměr a harmonický průměr.

Vlastnosti

Derivát ${displaystyle pmapsto L_ {p} (mathbf {x})}$ není negativní

${displaystyle {frac {částečné} {částečné p}} L_ {p} (mathbf {x}) = {frac {vlevo (součet _ {j = 1} ^ {n} součet _ {k = j + 1} ^ { n} left [x_ {j} -x_ {k} ight] cdot left [ln (x_ {j}) - ln (x_ {k}) ight] cdot left [x_ {j} cdot x_ {k} ight] ^ {p-1} ight)} {left (sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} ^ {p-1} ight) ^ {2}}},}$

tato funkce je tedy monotónní a nerovnost

${displaystyle pleq qLongrightarrow L_ {p} (mathbf {x}) leq L_ {q} (mathbf {x})}$

drží.

Derivát váženého Lehmerova průměru je:

${displaystyle {frac {částečné L_ {p, w} (mathbf {x})} {částečné p}} = {frac {(součet wx ^ {p-1}) (součet wx ^ {p} ln {x}) - (součet šx ^ {p}) (součet šx ^ {p-1} ln {x})} {(součet šx ^ {p-1}) ^ {2}}}}$

Speciální případy

• ${displaystyle lim _ {p o -infty} L_ {p} (mathbf {x})}$ je minimální prvků ${displaystyle mathbf {x}}$.
• ${displaystyle L_ {0} (mathbf {x})}$ je harmonický průměr.
• ${displaystyle L_ {frac {1} {2}} vlevo ((x_ {0}, x_ {1}) ight)}$ je geometrický průměr dvou hodnot ${displaystyle x_ {0}}$ a ${displaystyle x_ {1}}$.
• ${displaystyle L_ {1} (mathbf {x})}$ je aritmetický průměr.
• ${displaystyle L_ {2} (mathbf {x})}$ je kontraharmonický průměr.
• ${displaystyle lim _ {p o infty} L_ {p} (mathbf {x})}$ je maximum prvků ${displaystyle mathbf {x}}$.

Náčrt důkazu: Bez ztráty obecnosti nechat ${displaystyle x_ {1}, tečky, x_ {k}}$ jsou hodnoty, které se rovnají maximu. Pak ${displaystyle L_ {p} (mathbf {x}) = x_ {1} cdot {frac {k + left ({frac {x_ {k + 1}} {x_ {1}}} ight) ^ {p} + cdots + left ({frac {x_ {n}} {x_ {1}}} ight) ^ {p}} {k + left ({frac {x_ {k + 1}} {x_ {1}}} ight) ^ {p-1} + cdots + left ({frac {x_ {n}} {x_ {1}}} ight) ^ {p-1}}}}$

Aplikace

Zpracování signálu

Jako střední moc, Lehmerův průměr slouží nelineárně klouzavý průměr který je posunut směrem k malým hodnotám signálu pro malé ${displaystyle p}$ a zdůrazňuje velké hodnoty signálu pro velké ${displaystyle p}$. Vzhledem k efektivní implementaci a klouzavý aritmetický průměr volala hladký můžete implementovat pohyblivý Lehmerův průměr podle následujícího Haskell kód.

 lehmer Hladký :: Plovoucí A => ([A] -> [A]) -> A -> [A] -> [A] lehmer Hladký hladký p xs = zipWith (/)                                     (hladký (mapa (**p) xs))                                     (hladký (mapa (**(p-1)) xs))

• Pro velké ${displaystyle p}$ může sloužit detektor obálek na opraveno signál.
• Pro malé ${displaystyle p}$ může sloužit základní detektor na hmotnostní spektrum.

Gonzalez a Woods tomu říkají „kontraharmonický průměr filtr "popsáno pro různé hodnoty p (nicméně, jak je uvedeno výše, kontraharmonický průměr může odkazovat na konkrétní případ ${displaystyle p = 2}$). Jejich konvencí je zastupování p podle pořadí filtru Q:

${displaystyle f (x) = {frac {sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} ^ {Q + 1}} {sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} ^ { Q}}}.}$

Q= 0 je aritmetický průměr. Pozitivní Q může snížit hluk pepře a negativní Q může snížit hluk soli.^[2]

Viz také

• Znamenat
• Průměrná síla

Poznámky

externí odkazy

• Lehmer Mean na MathWorld