Věta o legendách o sférických trojúhelnících - Legendres theorem on spherical triangles - Wikipedia

v geometrie, Legendrova věta o sférických trojúhelnících, pojmenoval podle Adrien-Marie Legendre, je uvedeno následovně:

Nechť ABC je sférický trojúhelník na jednotka koule s malý strany A, b, C. Nechť A'B'C 'je rovinný trojúhelník se stejnými stranami. Úhly sférického trojúhelníku pak přesahují odpovídající úhly rovinného trojúhelníku přibližně o jednu třetinu sférický přebytek (sférický přebytek je množství, o které součet tří úhlů přesahuje

π

).

Věta byla velmi důležitá pro zjednodušení těžké numerické práce při výpočtu výsledků tradičních (před GPS a před počítačem) geodetických průzkumů od roku 1800 do poloviny dvacátého století.

Věta byla uvedena Legendre (1787) kdo poskytl důkaz (1798) v dodatku ke zprávě o měření francouzského poledníkového oblouku použité při definici Metr (Delambre 1798 ). Legendre netvrdí, že byl původcem věty navzdory přičítání jemu. Tropfke (1903) tvrdí, že tato metoda byla v té době běžně používána inspektory a mohla ji použít již v roce 1740 La Condamine pro výpočet Peruánský meridionální oblouk.

Girardova věta uvádí, že sférický přebytek trojúhelníku, E, se rovná jeho ploše, Δ, a proto lze Legendrovu větu zapsat jako

{ displaystyle { begin {zarovnáno} A-A '; přibližně ; B-B' ; přibližně ; C-C '; přibližně ; { frac {1} {3}} E ; = ; { frac {1} {3}} Delta, qquad a, ; b, ; c , ll , 1. end {zarovnáno}}}

Přebytek nebo plocha malých trojúhelníků je velmi malý. Zvažte například rovnostranný sférický trojúhelník se stranami 60 km na sférické Zemi o poloměru 6371 km; strana odpovídá úhlové vzdálenosti 60/6371 = 0,0094, nebo přibližně 10⁻² radiány (ve středu svírá úhel 0,57 °). Plocha tak malého trojúhelníku je dobře aproximována plochou rovného rovnostranného trojúhelníku se stejnými stranami:¹⁄₂A²hřích( $π$ / 3) = 0,0000433 radiánů, což odpovídá 8,9 ″.

Když strany trojúhelníků přesáhnou 180 km, u kterých je překročení asi 80 ″, musí být vztahy mezi oblastmi a rozdíly úhlů korigovány pomocí podmínek čtvrtého řádu v stranách, nejvýše 0,01 ″:

{ displaystyle { begin {aligned} Delta & = Delta ' left (1 + { frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {24}} right) , A & = A '+ { frac { Delta} {3}} + { frac { Delta} {180}} vlevo (-2a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ { 2} right), B & = B '+ { frac { Delta} {3}} + { frac { Delta} {180}} left ({ quad a ^ {2} -2b ^ {2} + c ^ {2}} vpravo), C & = C '+ { frac { Delta} {3}} + { frac { Delta} {180}} vlevo ({ quad a ^ {2} + b ^ {2} -2c ^ {2}} vpravo). end {zarovnáno}}}

(Δ ′ je plocha rovinného trojúhelníku.) Tento výsledek byl prokázán Buzengeiger (1818) —Rozsáhlejší důkaz lze nalézt v Osborne (2013) (Příloha D13). Další výsledky zkoumá Nádeník (2004).

Věta může být rozšířena na elipsoid, pokud A, b, C se vypočítají vydělením skutečných délek druhou odmocninou součinu hlavních poloměrů zakřivení (viz Osborne (2013) Kapitola 5) ve střední šířce vrcholů (místo sférického poloměru). Gauss (1828, Umění. 26–28) poskytl přesnější vzorce.

Reference

Buzengeiger, Karl Heribert Ignatz (1818), „Vergleichung zweier kleiner Dreiecke von gleichen Seiten, wovon das eine sphärisch, das andere eben ist“, Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften, 6: 264–270
Clarke, Alexander Ross (1880), Geodézie, Clarendon Press. Publikováno v Zapomenuté knihy.
Gauss, C. F. (1902) [1828]. Obecná vyšetřování zakřivených povrchů z let 1827 a 1825. Princeton Univ. Lib. Anglický překlad Disquisitiones generales circa superficies curvas (Dieterich, Göttingen, 1828).
Legendre, Adrien-Marie (1787), Mémoire sur les opérations trigonométriques, dont les résultats dépendant de la figure de la Terre, Článek VI [1], str. 7
Legendre, Adrien-Marie (1798), Méthode pour déterminer la longueur exacte du quart du méridien d'après les Observations faites pour la mesure de l'arc compris entre Dunkerque et Barcelone, s. 12–14 (poznámka III [2] )
Nádeník, Zbynek (2004), Legendární věta o sférických trojúhelnících (PDF), archivovány z originál (PDF) dne 2014-01-16
Osborne, Peter (2013), Mercatorovy projekce, archivovány z originál dne 24. 09. 2013
Tropfke, Johannes (1903), Geschichte der Elementar-Mathematik (svazek 2)., Verlag von Veit, s.295