Lebesguesovo číslo lema - Lebesgues number lemma - Wikipedia

v topologie, Lebesgueovo číslo lema, pojmenoval podle Henri Lebesgue, je užitečným nástrojem při studiu kompaktní metrické prostory. Uvádí:

Pokud je metrický prostor ${ displaystyle (X, d)}$ je kompaktní a otevřete kryt z ${ displaystyle X}$ je uvedeno, pak existuje číslo ${ displaystyle delta> 0}$ takové, že každý podmnožina z ${ displaystyle X}$ mít průměr méně než ${ displaystyle delta}$ je obsažen v nějakém členu obalu.

Takové číslo ${ displaystyle delta}$ se nazývá a Lebesgueovo číslo tohoto obalu. Samotná představa čísla Lebesgue je užitečná i v jiných aplikacích.

Důkaz

Nechat ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ být otevřeným krytem ${ displaystyle X}$. Od té doby ${ displaystyle X}$ je kompaktní, můžeme extrahovat konečný dílčí obal ${ displaystyle {A_ {1}, tečky, A_ {n} } subseteq { mathcal {U}}}$Pokud některý z ${ displaystyle A_ {i}}$rovná se ${ displaystyle X}$ pak jakýkoli ${ displaystyle delta> 0}$ bude sloužit jako Lebesgueovo číslo, jinak pro každé ${ displaystyle i in {1, tečky, n }}$, nechť ${ displaystyle C_ {i}: = X setminus A_ {i}}$, Všimněte si, že ${ displaystyle C_ {i}}$ není prázdný a definujte funkci ${ displaystyle f: X rightarrow mathbb {R}}$ podle ${ displaystyle f (x): = { frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} d (x, C_ {i})}$.

Od té doby ${ displaystyle f}$ je spojitý na kompaktní sadě, dosahuje minima ${ displaystyle delta}$. Klíčovým postřehem je, že protože každý ${ displaystyle x}$ je obsažen v některých ${ displaystyle A_ {i}}$, věta o extrémní hodnotě ukazuje ${ displaystyle delta> 0}$. Nyní to můžeme ověřit ${ displaystyle delta}$ je požadované číslo Lebesgue ${ displaystyle Y}$ je podmnožinou ${ displaystyle X}$ o průměru menším než ${ displaystyle delta}$, pak existuje ${ displaystyle x_ {0} v X}$ takhle ${ displaystyle Y subseteq B _ { delta} (x_ {0})}$, kde ${ displaystyle B _ { delta} (x_ {0})}$ označuje kouli o poloměru ${ displaystyle delta}$ se středem na ${ displaystyle x_ {0}}$ (jmenovitě si lze vybrat ${ displaystyle x_ {0}}$ jako jakýkoli bod v ${ displaystyle Y}$). Od té doby ${ displaystyle f (x_ {0}) geq delta}$ musí existovat alespoň jeden ${ displaystyle i}$ takhle ${ displaystyle d (x_ {0}, C_ {i}) geq delta}$. Ale to to znamená ${ displaystyle B _ { delta} (x_ {0}) subseteq A_ {i}}$ a tak zejména ${ displaystyle Y subseteq A_ {i}}$.

Reference

• Munkres, James R. (1974), Topologie: První kurz, str.179, ISBN  978-0-13-925495-6

Tento související s topologií článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.