Větší síto - Larger sieve - Wikipedia

v teorie čísel, větší síto je síto vynalezl Patrick X. Gallagher. Název označuje zvětšení velké síto. Kombinatorická síta jako Selbergovo síto jsou nejsilnější, když je odstraněno jen několik tříd zbytků, zatímco výraz velké síto znamená, že toto síto může využít odstranění velkého počtu až poloviny všech tříd zbytků. Větší síto může využít odstranění libovolného počtu tříd.

Tvrzení

Předpokládejme to ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ je sada hlavních sil, N celé číslo, ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ množina celých čísel v intervalu [1,N], takže pro ${ displaystyle q in { mathcal {S}}}$ je jich nanejvýš ${ displaystyle g (q)}$ zbytkové třídy modulo ${ displaystyle q}$, které obsahují prvky ${ displaystyle { mathcal {A}}}$.

Pak máme

${ displaystyle | { mathcal {A}} | leq { frac { sum _ {q in { mathcal {S}}} Lambda (q) - log N} { sum _ {q v { mathcal {S}}} { frac { Lambda (q)} {g (q)}} - log N}},}$

za předpokladu, že jmenovatel vpravo je kladný.^[1]

Aplikace

Typickou aplikací je následující výsledek, u kterého selže velké síto (konkrétně pro ${ displaystyle theta> { frac {1} {2}}}$), kvůli Gallagherovi:^[2]

Počet celých čísel ${ displaystyle n  leq N}$, takže pořadí ${ displaystyle n}$ modulo ${ displaystyle p}$ je ${ displaystyle  leq N ^ { theta}}$ pro všechna prvočísla ${ displaystyle p  leq N ^ { theta +  epsilon}}$ je ${ displaystyle { mathcal {O}} (N ^ { theta})}$.

Pokud je počet vyloučených zbytkových tříd modulo ${ displaystyle p}$ se liší podle ${ displaystyle p}$, pak se větší síto často kombinuje s velkým sítem. Se sadou se aplikuje větší síto ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ výše definovaná jako sada prvočísel, pro která je odstraněno mnoho tříd reziduí, zatímco velké síto se používá k získávání informací pomocí prvočísel mimo ${ displaystyle { mathcal {S}}}$.^[3]

Poznámky

Reference

• Gallagher, Patrick (1971). „Větší síto“. Acta Arithmetica. 18: 77–81.
• Croot, Ernie; Elsholtz, Christian (2004). "Na variantách většího síta". Acta Mathematica Hungarica. 103: 243–254.