Velká sada (Ramseyova teorie) - Large set (Ramsey theory)

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v Ramseyova teorie, a soubor S z přirozená čísla je považován za a velká sada kdyby a jen kdyby Van der Waerdenova věta lze zobecnit na tvrzení existence aritmetické průběhy se společným rozdílem v S. To znamená, S je velký právě tehdy, pokud má každé konečné rozdělení přirozených čísel buňku obsahující libovolně dlouhé aritmetické posloupnosti, které mají společné rozdíly v S.

Příklady

• Přirozená čísla jsou velká. To je přesně tvrzení Van der Waerdenova věta.
• Sudá čísla jsou velká.

Vlastnosti

Mezi nezbytné podmínky pro velikost patří:

• Li S je velké, pro jakékoli přirozené číslo n, S musí obsahovat alespoň jeden násobek (ekvivalentně, nekonečně mnoho násobků) z n.
• Li ${ displaystyle S = {s_ {1}, s_ {2}, s_ {3}, tečky }}$ je velký, není tomu tak s_k≥3s_k-1 pro k≥ 2.

Dvě dostatečné podmínky jsou:

• Li S obsahuje n-kostky pro libovolně velké n, tedy S je velký.
• Li ${ displaystyle S = p ( mathbb {N}) cap mathbb {N}}$ kde ${ displaystyle p}$ je polynom s ${ displaystyle p (0) = 0}$ a kladný vedoucí koeficient ${ displaystyle S}$ je velký.

První dostatečná podmínka znamená, že pokud S je tlustá sada, pak S je velký.

Mezi další fakta o velkých sadách patří:

• Li S je velký a F je tedy konečný S– F je velký.
• ${ displaystyle k cdot mathbb {N} = {k, 2k, 3k, tečky }}$ je velký.
• Pokud je S velké, ${ displaystyle k cdot S}$ je také velký.

Li ${ displaystyle S}$ je velký, pak pro všechny ${ displaystyle m}$, ${ displaystyle S cap {x: x equiv 0 { pmod {m}} }}$ je velký.

2 velké a k-velké sady

Sada je k-velký, pro přirozené číslo k > 0, pokud splňuje podmínky pro velkou velikost při přepracování van der Waerdenova věta se týká pouze k-barvy. Každá sada je velká nebo k-větší pro některé maximální k. To vyplývá ze dvou důležitých, i když triviálně pravdivých faktů:

• k-largeness znamená (k-1) -lagenita pro k> 1
• k-Lenovost pro všechny k znamená velkorysost.

Není známo, zda existují 2 velké sady, které nejsou také velkými sadami. Brown, Graham a Landman (1999) se domnívají, že takové soubory neexistují.

Viz také

• Rozdělení sady

Další čtení

• Brown, Tom; Graham, Ronald; Landman, Bruce (1999). „O množině běžných rozdílů ve van der Waerdenově teorému o aritmetických postupech“ (PDF). Kanadský matematický bulletin. 42 (1): 25–36. doi:10.4153 / cmb-1999-003-9. Archivovány od originál (PDF) dne 29. 9. 2007. Citováno 2005-11-13.

externí odkazy

• Mathworld: van der Waerdenova věta