Langleys Adventitious Angles - Langleys Adventitious Angles - Wikipedia

Langley's Adventitious Angles

Řešení Langleyova problému s trojúhelníkem 80-80-20

Langley's Adventitious Angles je matematický problém, který představuje Edward Mann Langley v Matematický věstník v roce 1922.^[1][2]

Problém

V původní podobě byl problém následující:

${ displaystyle ABC}$ je rovnoramenný trojúhelník.

${ displaystyle angle {B} = úhel {C} = 80 ^ { circ}.}$

${ displaystyle CF}$ na ${ displaystyle 30 ^ { circ}}$ na ${ displaystyle AC}$ řezy ${ displaystyle AB}$ v ${ displaystyle F.}$

${ displaystyle BE}$ na ${ displaystyle 20 ^ { circ}}$ na ${ displaystyle AB}$ řezy ${ displaystyle AC}$ v ${ displaystyle E.}$

Dokázat ${ displaystyle angle {BEF} = 30 ^ { circ}.}$ ^[1][2][3]

Řešení

Řešení vyvinulo James Mercer v roce 1923.^[2] Toto řešení zahrnuje nakreslení jedné další čáry a opakované využití skutečnosti, že vnitřní úhly trojúhelníku se sčítají až o 180 °, aby se dokázalo, že několik trojúhelníků nakreslených uvnitř velkého trojúhelníku jsou všechny rovnoramenné.

Kreslit ${ displaystyle BG}$ na ${ displaystyle 20 ^ { circ}}$ na ${ displaystyle BC}$ protínající se ${ displaystyle AC}$ na ${ displaystyle G}$ a kreslit ${ displaystyle FG.}$ (Viz obrázek vpravo dole.)

Od té doby ${ displaystyle angle {BCG} = 80 ^ { circ}}$ a ${ displaystyle angle {CBG} = 20 ^ { circ}}$ pak ${ displaystyle angle {BGC} = 80 ^ { circ}}$ a trojúhelník ${ displaystyle BCG}$ je rovnoramenný s ${ displaystyle BC = BG.}$

Od té doby ${ displaystyle angle {BCF} = 50 ^ { circ}}$ a ${ displaystyle angle {CBF} = 80 ^ { circ}}$ pak ${ displaystyle angle {BFC} = 50 ^ { circ}}$ a trojúhelník ${ displaystyle BCF}$ je rovnoramenný s ${ displaystyle BC = BF.}$

Od té doby ${ displaystyle angle {FBG} = 60 ^ { circ}}$ a ${ displaystyle BF = BG}$ pak trojúhelník ${ displaystyle BGF}$ je rovnostranný.

Od té doby ${ displaystyle angle {BGE} = 100 ^ { circ}}$ a ${ displaystyle angle {GBE} = 40 ^ { circ}}$ pak ${ displaystyle angle {GEB} = 40 ^ { circ}}$ a trojúhelník ${ displaystyle BGE}$ je rovnoramenný s ${ displaystyle GB = GE.}$

Proto jsou všechny červené čáry na obrázku stejné.

Od té doby ${ displaystyle GE = GF}$ trojúhelník ${ displaystyle EFG}$ je rovnoramenný s ${ displaystyle angle {GEF} = 70 ^ { circ}.}$

Proto ${ displaystyle angle {BEF} = 30 ^ { circ}.}$

Je možné mnoho dalších řešení. Vystřihněte seznam Knot dvanáct různých řešení a několik alternativních problémů se stejným trojúhelníkem 80-80-20, ale různými vnitřními úhly.^[4]

Zobecnění

problém náhodných čtyřúhelníků

Čtyřúhelník, jako je BCEF, se nazývá náhodný čtyřúhelník když úhly mezi jeho úhlopříčkami a stranami jsou všechny racionální úhly, úhly, které dávají racionální čísla měřeno ve stupních nebo jiných jednotkách, pro které je celý kruh racionálním číslem. Byla vytvořena řada náhodných čtyřúhelníků nad rámec toho, co se objevuje v Langleyho puzzle. Tvoří několik nekonečných rodin a další sadu sporadických příkladů.^[5]

Klasifikace náhodných čtyřúhelníků (které nemusí být konvexní) se ukazuje jako ekvivalent klasifikace všech trojitých průsečíků úhlopříček v pravidelných polygonech. To vyřešil Gerrit Bol v roce 1936 (Beantwoording van prijsvraag # 17, Nieuw-Archief voor Wiskunde 18, strany 14-66). Ve skutečnosti klasifikoval (i když s několika chybami) všechny mnohonásobné průniky úhlopříček v pravidelných polygonech. Jeho výsledky (vše provedené ručně) byly potvrzeny počítačem a chyby opraveny Bjornem Poonenem a Michaelem Rubinsteinem v roce 1998.^[6] Článek obsahuje historii problému a obrázek s pravidelnými triakontagon a jeho úhlopříčky.

V roce 2015 zveřejnila anonymní Japonka s pseudonymem „aerile re“ první známou metodu (metodu 3 cirkumcentů) pro vytvoření důkazu v elementární geometrii pro speciální třídu náhodných čtyřúhelníků.^[7][8][9] Tato práce řeší první ze tří nevyřešených problémů, které Rigby uvedl ve své práci z roku 1978.^[5]

Reference

externí odkazy

• Angular Angst, MathPages