Jehněčí – Chaplyginův dipól - Lamb–Chaplygin dipole

Toková struktura dipólu Beránek-Chaplygin

The Jehněčí – Chaplyginův dipól model je matematický popis pro konkrétní inviscidní a stálý dipolární vírový tok. Jedná se o netriviální řešení dvourozměrného Eulerovy rovnice. Název modelu je Horace Lamb a Sergej Alexejevič Chaplygin, kteří nezávisle objevili tuto strukturu toku.^[1]

Model

Dvourozměrný (2D), solenoidové vektorové pole ${ displaystyle mathbf {u}}$ lze popsat skalárem funkce streamu ${ displaystyle psi}$, přes ${ displaystyle mathbf {u} = - mathbf {e_ {z}} krát mathbf { nabla} psi}$, kde ${ displaystyle mathbf {e_ {z}}}$ je pravicový jednotkový vektor kolmý na 2D rovinu. Funkce stream je podle definice spojena s vířivost ${ displaystyle omega}$ přes a Poissonova rovnice: ${ displaystyle - nabla ^ {2} psi = omega}$. Model Lamb – Chaplygin vyplývá z požadavku následujících charakteristik:^{[Citace je zapotřebí ]}

• Dipól má kruhovou atmosféru / separatrix s poloměrem ${ displaystyle R}$: ${ Displaystyle psi left (r = R right) = 0}$.
• Dipól se šíří jinak irracující tekutinou (${ displaystyle omega (r> R) = 0)}$ při rychlosti překladu ${ displaystyle U}$.
• Tok je stabilní v společně se pohybujícím referenčním rámci: ${ displaystyle omega (r$.
• Uvnitř atmosféry existuje lineární vztah mezi vorticitou a funkcí proudu ${ displaystyle omega = k ^ {2} psi}$

Řešení ${ displaystyle psi}$ v válcové souřadnice (${ displaystyle r, theta}$), v souběžném referenčním rámci zní:

${ displaystyle { begin {aligned} psi = { begin {cases} { frac {-2UJ_ {1} (kr)} {kJ_ {0} (kR)}} mathrm {sin} ( theta) , & { text {for}} r$

kde ${ displaystyle J_ {0} { text {and}} J_ {1}}$ jsou nula a první Besselovy funkce prvního druhu, resp. Dále hodnota ${ displaystyle k}$ je takový ${ displaystyle kR = 3,83 ...}$, první netriviální nula první Besselovy funkce prvního druhu.^{[Citace je zapotřebí ]}

Využití a úvahy

Od klíčové práce P. Orlandiho^[2] model víření Lamb – Chaplygin byl populární volbou pro numerické studie interakcí víru a prostředí. Skutečnost, že se nedeformuje, z něj činí hlavního kandidáta na důslednou inicializaci toku. Méně příznivou vlastností je, že druhá derivace pole toku na okraji dipólu není spojitá.^[3] Dále slouží jako rámec pro analýzu stability na dipolárních vírových strukturách.^[4]

Reference