Funkce Lamé - Lamé function - Wikipedia

V matematice, a Funkce Laménebo elipsoidní harmonická funkce, je řešením Laméova rovnice, druhého řádu obyčejná diferenciální rovnice. Bylo představeno v článku (Gabriel Lamé 1837 ). Laméova rovnice se objevuje v metodě oddělení proměnných aplikován na Laplaceova rovnice v eliptické souřadnice. V některých zvláštních případech lze řešení vyjádřit pomocí polynomů, které se nazývají Laméovy polynomy.

Laméova rovnice

Laméova rovnice je

{ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + (A + B wp (x)) y = 0,}

kde A a B jsou konstanty a ${ displaystyle wp}$ je Weierstrassova eliptická funkce. Nejdůležitějším případem je kdy ${ displaystyle B wp (x) = - kappa ^ {2} operatorname {sn} ^ {2} x}$ , kde ${ displaystyle operatorname {sn}}$ je eliptická sinusová funkce, a ${ displaystyle kappa ^ {2} = n (n + 1) k ^ {2}}$ pro celé číslo n a ${ displaystyle k}$ eliptický modul, v takovém případě se řešení rozšíří na meromorfní funkce definované v celé komplexní rovině. Pro ostatní hodnoty B řešení mají odbočné body.

Změnou nezávislé proměnné na ${ displaystyle t}$ s ${ displaystyle t = operatorname {sn} x}$ , Lámovu rovnici lze také přepsat v algebraické formě jako

{ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + { frac {1} {2}} vlevo ({ frac {1} {t-e_ {1}} } + { frac {1} {t-e_ {2}}} + { frac {1} {t-e_ {3}}} vpravo) { frac {dy} {dt}} - { frac {A + Bt} {4 (t-e_ {1}) (t-e_ {2}) (t-e_ {3})}} y = 0,}

který se po změně proměnné stává zvláštním případem Heunova rovnice.

Obecnější formou Laméovy rovnice je elipsoidní rovnice nebo elipsoidní vlnová rovnice které lze zapsat (pozor nyní píšeme ${ displaystyle Lambda}$ , ne ${ displaystyle A}$ jak je uvedeno výše)

{ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + ( Lambda - kappa ^ {2} operatorname {sn} ^ {2} x- Omega ^ {2} k ^ {4} operatorname {sn} ^ {4} x) y = 0,}

kde ${ displaystyle k}$ je eliptický modul jakobiánských eliptických funkcí a ${ displaystyle kappa}$ a ${ displaystyle Omega}$ jsou konstanty. Pro ${ displaystyle Omega = 0}$ z rovnice se stane Laméova rovnice ${ displaystyle Lambda = A}$ . Pro ${ displaystyle Omega = 0, k = 0, kappa = 2 h, Lambda -2 h ^ {2} = lambda, x = z pm { frac { pi} {2}}}$ rovnice se redukuje na Mathieuova rovnice

{ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dz ^ {2}}} + ( lambda -2h ^ {2} cos 2z) y = 0.}

Weierstrassova forma Laméovy rovnice je pro výpočet zcela nevhodná (jak poznamenává také Arscott, s. 191). Nejvhodnější forma rovnice je ta v Jacobově formě, jak je uvedeno výše. Algebraické a trigonometrické formy jsou také těžkopádné. Laméovy rovnice vznikají v kvantové mechanice jako rovnice malých fluktuací o klasických řešeních - tzv periodické okamžiky, odrazy nebo bubliny - Schrödingerových rovnic pro různé periodické a anharmonické potenciály.^[1]^[2]

Asymptotické expanze

Asymptotické expanze periodických elipsoidních vlnových funkcí, a tím i Laméových funkcí, pro velké hodnoty ${ displaystyle kappa}$ byly získány společností Müller.^[3]^[4]^[5]Asymptotická expanze, kterou získal pro vlastní čísla ${ displaystyle Lambda}$ je, s ${ displaystyle q}$ přibližně liché celé číslo (a bude přesněji určeno okrajovými podmínkami - viz níže),

{ displaystyle { begin {aligned} Lambda (q) = {} & q kappa - { frac {1} {2 ^ {3}}} (1 + k ^ {2}) (q ^ {2} +1) - { frac {q} {2 ^ {6} kappa}} {(1 + k ^ {2}) ^ {2} (q ^ {2} +3) -4k ^ {2} (q ^ {2} +5) } [6pt] & {} - { frac {1} {2 ^ {10} kappa ^ {2}}} { Big {} (1 + k ^ {2}) ^ {3} (5q ^ {4} + 34q ^ {2} +9) -4k ^ {2} (1 + k ^ {2}) (5q ^ {4} + 34q ^ {2 } +9) [6pt] & {} - 384 Omega ^ {2} k ^ {4} (q ^ {2} +1) { Big }} - cdots, end {zarovnáno}} }

(další (pátý) termín, který zde není uveden, vypočítal Müller, první tři termíny také získala Ince^[6]). Pozorujte, že termíny jsou střídavě sudé a liché ${ displaystyle q}$ a ${ displaystyle kappa}$ (jako v odpovídajících výpočtech pro Funkce Mathieu, a funkce zploštělých sférických vln a proložit sféroidní vlnové funkce ). S následujícími okrajovými podmínkami (za kterých ${ displaystyle K (k)}$ je čtvrtinové období dané úplným eliptickým integrálem)

{ displaystyle operatorname {Ec} (2K) = operatorname {Ec} (0) = 0, ; ; operatorname {Es} (2K) = operatorname {Es} (0) = 0,}

stejně jako primární což znamená derivát)

{ displaystyle ( operatorname {Ec}) _ {2K} ^ {'} = ( operatorname {Ec}) _ {0} ^ {'} = 0, ; ; ( operatorname {Es}) _ { 2K} ^ {'} = ( operatorname {Es}) _ {0} ^ {'} = 0,}

definování funkcí elipsoidních vln

{ displaystyle operatorname {Ec} _ {n} ^ {q_ {0}}, operatorname {Es} _ {n} ^ {q_ {0} +1}, operatorname {Ec} _ {n} ^ { q_ {0} -1}, operatorname {Es} _ {n} ^ {q_ {0}}}

období ${ displaystyle 4K, 2K, 2K, 4K,}$ a pro ${ displaystyle q_ {0} = 1,3,5, ldots}$ jeden získá

{ displaystyle q-q_ {0} = mp 2 { sqrt { frac {2} { pi}}} vlevo ({ frac {1 + k} {1-k}} vpravo) ^ { - kappa / k} left ({ frac {8 kappa} {1-k ^ {2}}} right) ^ {q_ {0} / 2} { frac {1} {[(q_ { 0} -1) / 2]!}} Left [1 - { frac {3 (q_ {0} ^ {2} +1) (1 + k ^ {2})} {2 ^ {5} kappa}} + cdots right].}

Zde horní značka odkazuje na řešení ${ displaystyle operatorname {Ec}}$ a nižší řešení ${ displaystyle operatorname {Es}}$ . Nakonec se rozšiřuje ${ displaystyle Lambda (q)}$ o ${ displaystyle q_ {0},}$ jeden získá

{ displaystyle { begin {zarovnáno} Lambda _ { pm} (q) simeq {} & Lambda (q_ {0}) + (q-q_ {0}) left ({ frac { částečné Lambda} { částečné q}} pravé) _ {q_ {0}} + cdots [6pt] = {} & Lambda (q_ {0}) + (q-q_ {0}) kappa left [1 - { frac {q_ {0} (1 + k ^ {2})} {2 ^ {2} kappa}} - { frac {1} {2 ^ {6} kappa ^ { 2}}} {3 (1 + k ^ {2}) ^ {2} (q_ {0} ^ {2} +1) -4k ^ {2} (q_ {0} ^ {2} + 2q_ { 0} +5) } + cdots right] [6pt] simeq {} & Lambda (q_ {0}) mp 2 kappa { sqrt { frac {2} { pi}} } left ({ frac {1 + k} {1-k}} right) ^ {- kappa / k} left ({ frac {8 kappa} {1-k ^ {2}}} right) ^ {q_ {0} / 2} { frac {1} {[(q_ {0} -1) / 2]!}} { Big [} 1 - { frac {1} {2 ^ {5} kappa}} (1 + k ^ {2}) (3q_ {0} ^ {2} + 8q_ {0} +3) [6pt] & {} + { frac {1} {3,2 ^ {11} kappa ^ {2}}} {3 (1 + k ^ {2}) ^ {2} (9q_ {0} ^ {4} + 8q_ {0} ^ {3} -78q_ {0} } ^ {2} -88q_ {0} -87) [6pt] & {} + 128k ^ {2} (2q_ {0} ^ {3} + 9q_ {0} ^ {2} + 10q_ {0} +15) } - cdots { Big]}. End {zarovnáno}}}

V limitu Mathieuovy rovnice (na kterou může být Laméova rovnice redukována) se tyto výrazy redukují na odpovídající výrazy případu Mathieu (jak ukazuje Müller).

Poznámky

^ H. J. W. Müller-Kirsten, Úvod do kvantové mechaniky: Schrödingerova rovnice a integrace dráhy, 2. vyd. World Scientific, 2012, ISBN 978-981-4397-73-5
^ Liang, Jiu-Qing; Müller-Kirsten, H.J.W .; Tchrakian, D.H. (1992). "Solitony, odrazy a sfalerony v kruhu". Fyzikální písmena B. Elsevier BV. 282 (1–2): 105–110. doi:10.1016 / 0370-2693 (92) 90486-n. ISSN 0370-2693.
^ W. Müller, Harald J. (1966). "Asymptotické expanze funkcí elipsoidních vln a jejich charakteristická čísla". Mathematische Nachrichten (v němčině). Wiley. 31 (1–2): 89–101. doi:10.1002 / mana.19660310108. ISSN 0025-584X.
^ Müller, Harald J. W. (1966). "Asymptotické expanze elipsoidních vlnových funkcí z hlediska Hermitových funkcí". Mathematische Nachrichten (v němčině). Wiley. 32 (1–2): 49–62. doi:10,1002 / many.19660320106. ISSN 0025-584X.
^ Müller, Harald J. W. (1966). "O asymptotických expanzích elipsoidních vlnových funkcí". Mathematische Nachrichten (v němčině). Wiley. 32 (3–4): 157–172. doi:10,1002 / many.19660320305. ISSN 0025-584X.
^ Ince, E. L. (1940). „VII - Další vyšetřování periodických funkcí Lamé“. Sborník Královské společnosti z Edinburghu. Cambridge University Press (CUP). 60 (1): 83–99. doi:10.1017 / s0370164600020071. ISSN 0370-1646.

Reference

Arscott, F. M. (1964), Periodické diferenciální rovnice, Oxford: Pergamon Press, str. 191–236.
Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955), Vyšší transcendentální funkce (PDF)Bateman Manuscript Project, sv. III, New York – Toronto – Londýn: McGraw-Hill, s. XVII + 292, PAN 0066496, Zbl 0064.06302.
Lamé, G. (1837), „Sur les povrchy isothermes dans les corps homogènes en équilibre de température“, Journal de mathématiques pures et appliquées, 2: 147–188. Dostupné v Gallica.
Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Lamé rovnice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Funkce Lamé", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Volkmer, H. (2010), "Funkce Lamé", v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, PAN 2723248
Müller-Kirsten, Harald J. W. (2012), Úvod do kvantové mechaniky: Schrödingerova rovnice a integrace cest, 2. vyd., World Scientific

[1] H. J. W. Müller-Kirsten, Úvod do kvantové mechaniky: Schrödingerova rovnice a integrace dráhy, 2. vyd. World Scientific, 2012, ISBN 978-981-4397-73-5

[2] Liang, Jiu-Qing; Müller-Kirsten, H.J.W .; Tchrakian, D.H. (1992). "Solitony, odrazy a sfalerony v kruhu". Fyzikální písmena B. Elsevier BV. 282 (1–2): 105–110. doi:10.1016 / 0370-2693 (92) 90486-n. ISSN 0370-2693.

[3] W. Müller, Harald J. (1966). "Asymptotické expanze funkcí elipsoidních vln a jejich charakteristická čísla". Mathematische Nachrichten (v němčině). Wiley. 31 (1–2): 89–101. doi:10.1002 / mana.19660310108. ISSN 0025-584X.

[4] Müller, Harald J. W. (1966). "Asymptotické expanze elipsoidních vlnových funkcí z hlediska Hermitových funkcí". Mathematische Nachrichten (v němčině). Wiley. 32 (1–2): 49–62. doi:10,1002 / many.19660320106. ISSN 0025-584X.

[5] Müller, Harald J. W. (1966). "O asymptotických expanzích elipsoidních vlnových funkcí". Mathematische Nachrichten (v němčině). Wiley. 32 (3–4): 157–172. doi:10,1002 / many.19660320305. ISSN 0025-584X.

[6] Ince, E. L. (1940). „VII - Další vyšetřování periodických funkcí Lamé“. Sborník Královské společnosti z Edinburghu. Cambridge University Press (CUP). 60 (1): 83–99. doi:10.1017 / s0370164600020071. ISSN 0370-1646.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]