Lagrangeova věta (teorie čísel) - Lagranges theorem (number theory) - Wikipedia

v teorie čísel, Lagrangeova věta je prohlášení pojmenované po Joseph-Louis Lagrange o tom, jak často a polynomiální přes celá čísla může vyhodnotit na násobek pevné primární. Přesněji uvádí, že pokud p je prvočíslo a ${ displaystyle textstyle f (x) v mathbb {Z} [x]}$ je polynom s celočíselnými koeficienty, pak buď:

každý koeficient $F (X)$ je dělitelné pnebo
$F (X) \equiv 0 (mod p)$ má nanejvýš $deg F (X)$ nepřiměřená řešení

kde $deg F (X)$ je stupeň z $F (X)$ . Řešení jsou „nesourodá“, pokud se neliší o několik p. Pokud modul není prime, pak je možné, aby jich bylo více než $deg F (X)$ řešení.

Důkaz Lagrangeovy věty

Dvě klíčové myšlenky jsou následující. Nechat $G (X) \in (Z / p)[X]$ být polynom získaný z $F (X)$ tím, že vezme koeficienty $mod p$ . Nyní:

$F (k)$ je dělitelné $p$ kdyby a jen kdyby $G (k) = 0$ ; a
$G (X)$ nemá více než $deg G (X)$ kořeny.

Přísněji začněte tím, že si to všimnete $G (X) = 0$ právě tehdy, když každý koeficient ve výši $F (X)$ je dělitelné $p$ . Převzít $G (X) \neq 0$ ; jeho stupeň je tedy dobře definován. Je to dobře vidět $deg G (X) \leq stupeň F (X)$ . Abychom dokázali (1), nejprve si povšimněme, že můžeme počítat $G (k)$ buď přímo, tj. připojením ( třída zbytků z) $k$ a provádění aritmetiky v $Z / p$ , nebo redukcí $F (k) mod p$ . Proto $G (k) = 0$ kdyby a jen kdyby $F (k) \equiv 0 (mod p)$ , tj. pokud a pouze pokud $F (k)$ je dělitelné $p$ . Chcete-li dokázat (2), všimněte si toho $Z / p$ je pole, což je standardní skutečnost (rychlým důkazem je, že od té doby $p$ je hlavní, $Z / p$ je konečný integrální doména, proto je pole). Další standardní fakt je, že nenulový polynom nad polem má nanejvýš tolik kořenů jako jeho stupeň; to vyplývá z algoritmus dělení.

Na závěr si všimněte, že dvě řešení $F (k 1) \equiv F (k 2) \equiv 0 (mod p)$ jsou neslučitelné právě tehdy ${ displaystyle k_ {1} not equiv k_ {2}}$ $(mod p)$ . Dáme-li vše dohromady, počet neshodných řešení (1) je stejný jako počet kořenů $G (X)$ , což je maximálně (2) $deg G (X)$ , což je maximálně $deg F (X)$ .

Reference

LeVeque, William J. (2002) [1956]. Témata z teorie čísel, svazky I a II. New York: Dover Publications. str.42. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.
Tattersall, James J. (2005). Základní teorie čísel v devíti kapitolách (2. vyd.). Cambridge University Press. str. 198. ISBN 0-521-85014-2. Zbl 1071.11002.