Lady Windermeres Fan (matematika) - Lady Windermeres Fan (mathematics) - Wikipedia

v matematika, Lady Windermere's Fan je teleskopická identita použitá k propojení globální a místní chyby a numerický algoritmus. Název je odvozen od Oscar Wilde hra z roku 1892 Lady Windermere's Fan, A Play About a Good Woman.

Lady Windermere's Fan pro funkci jedné proměnné

Nechat ${ displaystyle E ( tau, t_ {0}, y (t_ {0}) )}$ být operátor přesného řešení aby:

${ displaystyle y (t_ {0} + tau) = E ( tau, t_ {0}, y (t_ {0})) y (t_ {0})}$

s ${ displaystyle t_ {0}}$ označující počáteční čas a ${ displaystyle y (t)}$ funkce, která má být aproximována daným ${ displaystyle y (t_ {0})}$.

Dále nechte ${ displaystyle y_ {n}}$, ${ displaystyle n in mathbb {N}, n leq N}$ být numerická aproximace v čase ${ displaystyle t_ {n}}$, ${ displaystyle t_ {0}$. ${ displaystyle y_ {n}}$ lze dosáhnout pomocí operátor aproximace ${ displaystyle Phi ( h_ {n}, t_ {n}, y (t_ {n}) )}$ aby:

${ displaystyle y_ {n} = Phi ( h_ {n-1}, t_ {n-1}, y (t_ {n-1}) ) y_ {n-1} quad}$ s ${ displaystyle h_ {n} = t_ {n + 1} -t_ {n}}$

Operátor přiblížení představuje použité numerické schéma. Pro jednoduchý explicitní vpřed eulerovo schéma s šířkou kroku ${ displaystyle h}$ to by bylo: ${ displaystyle Phi _ { text {Euler}} ( h, t_ {n-1}, y (t_ {n-1}) ) y (t_ {n-1}) = (1 + h { frac {d} {dt}}) y (t_ {n-1})}$

The místní chyba ${ displaystyle d_ {n}}$ je pak dáno:

${ displaystyle d_ {n}: = D ( h_ {n-1}, t_ {n-1}, y (t_ {n-1} ) y_ {n-1}: = left [ Phi ( h_ {n-1}, t_ {n-1}, y (t_ {n-1}) ) -E ( h_ {n-1}, t_ {n-1}, y (t_ {n -1}) ) vpravo] y_ {n-1}}$

Ve zkratce píšeme:

${ displaystyle Phi (h_ {n}): = Phi ( h_ {n}, t_ {n}, y (t_ {n}) )}$

${ displaystyle E (h_ {n}): = E ( h_ {n}, t_ {n}, y (t_ {n}) )}$

${ displaystyle D (h_ {n}): = D ( h_ {n}, t_ {n}, y (t_ {n}) )}$

Pak Lady Windermere's Fan pro funkci jedné proměnné ${ displaystyle t}$ píše jako:

${ displaystyle y_ {N} -y (t_ {N}) = prod _ {j = 0} ^ {N-1} Phi (h_ {j}) (y_ {0} -y (t_ {0 })) + sum _ {n = 1} ^ {N} prod _ {j = n} ^ {N-1} Phi (h_ {j}) d_ {n}}$

s globální chybou ${ displaystyle y_ {N} -y (t_ {N})}$

Vysvětlení

${ displaystyle { begin {aligned} y_ {N} -y (t_ {N}) & {} = y_ {N} - underbrace { prod _ {j = 0} ^ {N-1} Phi ( h_ {j}) y (t_ {0}) + prod _ {j = 0} ^ {N-1} Phi (h_ {j}) y (t_ {0})} _ {= 0} -y (t_ {N}) & {} = y_ {N} - prod _ {j = 0} ^ {N-1} Phi (h_ {j}) y (t_ {0}) + underbrace { sum _ {n = 0} ^ {N-1} prod _ {j = n} ^ {N-1} Phi (h_ {j}) y (t_ {n}) - součet _ {n = 1} ^ {N} prod _ {j = n} ^ {N-1} Phi (h_ {j}) y (t_ {n})} _ {= prod _ { n = 0} ^ {N-1} Phi (h_ {n}) y (t_ {n}) - součet _ {n = N} ^ {N} left [ prod _ {j = n} ^ {N-1} Phi (h_ {j}) vpravo] y (t_ {n}) = prod _ {j = 0} ^ {N-1} Phi (h_ {j}) y (t_ {0}) - y (t_ {N})} & {} = prod _ {j = 0} ^ {N-1} Phi (h_ {j}) y_ {0} - prod _ {j = 0} ^ {N-1} Phi (h_ {j}) y (t_ {0}) + sum _ {n = 1} ^ {N} prod _ {j = n -1} ^ {N-1} Phi (h_ {j}) y (t_ {n-1}) - sum _ {n = 1} ^ {N} prod _ {j = n} ^ {N-1} Phi (h_ {j}) y (t_ {n}) & {} = prod _ {j = 0} ^ {N-1} Phi (h_ {j}) (y_ {0} -y (t_ {0})) + sum _ {n = 1} ^ {N} prod _ {j = n} ^ {N-1} Phi (h_ {j}) left [ Phi (h_ {n-1}) - E (h_ {n-1}) right] y (t_ {n-1}) & {} = prod _ {j = 0} ^ {N-1} Phi (h_ {j}) (y_ {0} -y (t_ {0})) + sum _ {n = 1} ^ {N} prod _ {j = n } ^ {N-1} Phi (h_ {j}) d_ {n} end {zarovnáno}}}$

Viz také

• Baker – Campbell – Hausdorffův vzorec
• Numerická chyba