Kravčukovy polynomy - Kravchuk polynomials
Kravčukovy polynomy nebo Krawtchoukovy polynomy (psáno také pomocí několika dalších transliterací ukrajinského příjmení „Кравчу́к“) jsou oddělený ortogonální polynomy spojené s binomická distribuce , představil Mykhailo Kravchuk (1929 Prvních několik polynomů je (pro q =2):
K. 0 ( X ; n ) = 1 {displaystyle {mathcal {K}} _ {0} (x; n) = 1} K. 1 ( X ; n ) = − 2 X + n {displaystyle {mathcal {K}} _ {1} (x; n) = - 2x + n} K. 2 ( X ; n ) = 2 X 2 − 2 n X + ( n 2 ) {displaystyle {mathcal {K}} _ {2} (x; n) = 2x ^ {2} -2nx + {n vyberte 2}} K. 3 ( X ; n ) = − 4 3 X 3 + 2 n X 2 − ( n 2 − n + 2 3 ) X + ( n 3 ) . {displaystyle {mathcal {K}} _ {3} (x; n) = - {frac {4} {3}} x ^ {3} + 2nx ^ {2} - (n ^ {2} -n + {frac {2} {3}}) x + {n vyberte 3}.} Kravčukovy polynomy jsou zvláštním případem Meixnerovy polynomy prvního druhu.
Definice Pro všechny hlavní síla q a kladné celé číslo n , definujte Kravchukův polynom
K. k ( X ; n , q ) = K. k ( X ) = ∑ j = 0 k ( − 1 ) j ( q − 1 ) k − j ( X j ) ( n − X k − j ) , k = 0 , 1 , … , n . {displaystyle {mathcal {K}} _ {k} (x; n, q) = {mathcal {K}} _ {k} (x) = součet _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {j} (q-1) ^ {kj} {jiné {x} {j}} {jiné {nx} {kj}}, kvadrant k = 0,1, ldots, n.} Vlastnosti Kravchukův polynom má následující alternativní výrazy:
K. k ( X ; n , q ) = ∑ j = 0 k ( − q ) j ( q − 1 ) k − j ( n − j k − j ) ( X j ) . {displaystyle {mathcal {K}} _ {k} (x; n, q) = součet _ {j = 0} ^ {k} (- q) ^ {j} (q-1) ^ {kj} {jiný {nj} {kj}} {jin {x} {j}}.} K. k ( X ; n , q ) = ∑ j = 0 k ( − 1 ) j q k − j ( n − k + j j ) ( n − X k − j ) . {displaystyle {mathcal {K}} _ {k} (x; n, q) = součet _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {j} q ^ {kj} {jiné {n-k + j} {j}} {jin {nx} {kj}}.} Symetrické vztahy Pro celá čísla i , k ≥ 0 {displaystyle i, kgeq 0}
( q − 1 ) i ( n i ) K. k ( i ; n , q ) = ( q − 1 ) k ( n k ) K. i ( k ; n , q ) . {displaystyle {egin {aligned} (q-1) ^ {i} {n zvolte i} {mathcal {K}} _ {k} (i; n, q) = (q-1) ^ {k} {n zvolte k} {mathcal {K}} _ {i} (k; n, q). end {zarovnáno}}} Vztahy ortogonality Pro nezáporná celá čísla r , s ,
∑ i = 0 n ( n i ) ( q − 1 ) i K. r ( i ; n , q ) K. s ( i ; n , q ) = q n ( q − 1 ) r ( n r ) δ r , s . {displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} {jin {n} {i}} (q-1) ^ {i} {mathcal {K}} _ {r} (i; n, q) {mathcal {K}} _ {s} (i; n, q) = q ^ {n} (q-1) ^ {r} {jiné {n} {r}} delta _ {r, s}.} Generující funkce The generující série Kravčukových polynomů je uvedeno níže. Tady z {displaystyle z}
( 1 + ( q − 1 ) z ) n − X ( 1 − z ) X = ∑ k = 0 ∞ K. k ( X ; n , q ) z k . {displaystyle {egin {aligned} (1+ (q-1) z) ^ {nx} (1-z) ^ {x} & = součet _ {k = 0} ^ {infty} {mathcal {K}} _ {k} (x; n, q) {z ^ {k}}. konec {zarovnáno}}} Viz také Reference Kravchuk, M. (1929), „Sur une généralisation des polynomes d'Hermite.“ , Comptes Rendus Mathématique (francouzsky), 189 : 620–622, JFM 55.0799.01 Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S. C .; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), „Hahn Class: Definitions“ , v Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 PAN 2723248 Nikiforov, A. F .; Suslov, S.K .; Uvarov, V. B. (1991), Klasické ortogonální polynomy diskrétní proměnné , Springer Series in Computational Physics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-51123-7 PAN 1149380 Levenshtein, Vladimir I. (1995), „Krawtchoukovy polynomy a univerzální hranice pro kódy a vzory v Hammingových prostorech“, Transakce IEEE na teorii informací , 41 (5): 1303–1321, doi :10.1109/18.412678 , PAN 1366326 MacWilliams, F. J .; Sloane, N. J. A. (1977), Teorie kódů pro opravu chyb ISBN 0-444-85193-3 externí odkazy
