Kramers - Moyal expanze - Kramers–Moyal expansion
v stochastické procesy, Kramers - Moyal expanze označuje a Taylor série rozšíření hlavní rovnice, pojmenoval podle Hans Kramers a José Enrique Moyal.[1][2] Tato expanze transformuje integro-diferenciál hlavní rovnice
kde (pro stručnost je tato pravděpodobnost označena ) je hustota pravděpodobnosti přechodu do nekonečného řádu parciální diferenciální rovnice[3][4][5]
kde
Tady je míra pravděpodobnosti přechodu. Fokker-Planckova rovnice se získá zachováním pouze prvních dvou podmínek série, ve které je drift a je difúzní koeficient.
Pawulova věta
Pawulova věta uvádí, že expanze se zastaví buď po prvním, nebo po druhém členu.[6][7] Pokud expanze pokračuje i za druhým členem, musí obsahovat nekonečný počet členů, aby bylo možné řešení rovnice interpretovat jako funkci hustoty pravděpodobnosti.[8]
Implementace
- Implementace v Pythonu: https://github.com/LRydin/KramersMoyal [9]
Reference
- ^ Kramers, H. A. (1940). „Brownův pohyb v silovém poli a difúzní model chemických reakcí“. Physica. 7 (4): 284–304. Bibcode:1940Phy ..... 7..284K. doi:10.1016 / S0031-8914 (40) 90098-2.
- ^ Moyal, J. E. (1949). "Stochastické procesy a statistická fyzika". Journal of the Royal Statistical Society. Řada B (metodická). 11 (2): 150–210. JSTOR 2984076.
- ^ Gardiner, C. (2009). Stochastické metody (4. vydání). Berlín: Springer. ISBN 978-3-642-08962-6.
- ^ Van Kampen, N. G. (1992). Stochastické procesy ve fyzice a chemii. Elsevier. ISBN 0-444-89349-0.
- ^ Risken, H. (1996). Fokker-Planckova rovnice. Berlín, Heidelberg: Springer. str. 63–95. ISBN 3-540-61530-X.
- ^ R. F. Pawula, „Zobecnění a rozšíření Fokker-Planck-Kolmogorovových rovnic,“ v IEEE Transaction on Information Theory, sv. 13, č. 1, s. 33-41, leden 1967, doi: 10.1109 / TIT.1967.1053955.
- ^ Pawula, R. F. (1967). Aproximace lineární Boltzmannovy rovnice Fokker-Planckovou rovnicí. Fyzická kontrola, 162 (1), 186.
- ^ Risken, Hannes (6. prosince 2012). Fokker-Planckova rovnice: Metody řešení a aplikace. ISBN 9783642968075.
- ^ Rydin Gorjão, L .; Meirinhos, F. (2019). "kramersmoyal: Kramers - Moyal koeficienty pro stochastické procesy". Journal of Open Source Software. 4 (44): 1693. Bibcode:2019JOSS .... 4,1693G. doi:10.21105 / joss.01693.