Kovner – Besicovitchova míra - Kovner–Besicovitch measure

Největší centrálně symetrická podmnožina (centrální stínovaná oblast) a Reuleauxův trojúhelník a jeho odraz přes střed symetrie podmnožiny

v rovinná geometrie the Kovner – Besicovitchova míra je číslo definované pro libovolné ohraničené konvexní sada popisující, jak blízko k bytí centrálně symetrický to je. Je to zlomek plochy množiny, kterou lze pokrýt její největší centrálně symetrickou podmnožinou.^[1]

Vlastnosti

Toto měřítko je jedno pro sadu, která je centrálně symetrická, a menší než jedna pro sady, jejichž uzavření není centrálně symetrické. Je neměnný pod afinní transformace letadla. Li ${ displaystyle c}$ je středem symetrie největší centrálně symetrické množiny v daném konvexním těle ${ displaystyle K}$ , pak samotná centrálně symetrická množina je průsečík ${ displaystyle K}$ s jeho odrazem napříč ${ displaystyle c}$ .^[1]

Minimalizátory

Konvexní množiny s nejmenší možnou mírou Kovner – Besicovitch jsou trojúhelníky, pro které je míra 2/3. Výsledek, že trojúhelníky jsou minimalizátory tohoto opatření, je znám jako Kovnerova věta nebo Kovner – Besicovitchova větaa nerovnost ohraničující míru nad 2/3 pro všechny konvexní množiny je Nerovnost Kovner – Besicovitch.^[2] The křivka konstantní šířky s nejmenší možnou mírou Kovner – Besicovitch je Reuleauxův trojúhelník.^[3]

Výpočetní složitost

Kovner – Besicovitchova míra libovolného konvexního polygonu s ${ displaystyle n}$ vrcholy lze najít v čase ${ displaystyle O (n log n)}$ určením překladu odrazu polygonu, který má největší možné překrytí s nereflektovaným polygonem.^[4]

Dějiny

Branko Grünbaum píše, že věta Kovner – Besicovitch byla poprvé publikována v ruštině, v učebnici z roku 1935 o variační počet podle Michail Lavrentjev a Lazar Lyusternik, kde byl připsán sovětskému matematikovi a geofyzikovi S. S. Kovner [ru ]. Další důkazy poskytl Abram Samoilovitch Besicovitch a tím István Fáry, který také dokázal, že každý minimalizátor míry Kovner – Besicovitch je trojúhelník.^[1]

Viz také

Estermannovo opatření, míra centrální symetrie definovaná pomocí nadmnožin namísto podmnožin

Reference

^ ^A ^b ^C Grünbaum, Branko (1963), "Measures of symetry for convex sets", in Klee, Victor L. (vyd.), KonvexnostSborník sympozií z čisté matematiky, 7„Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, s. 233–270, PAN 0156259
^ Makeev, V. V. (2007), „Some extremal problems for vector bundles“, Matematický deník v Petrohradě, 19 (2): 131–155, doi:10.1090 / S1061-0022-08-00998-9, PAN 2333901
^ Finch, Steven R. (2003), „8.10 Konstanty trojúhelníku Reuleaux“ (PDF), Matematické konstanty, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, pp.513–514, ISBN 978-0-521-81805-6.
^ de Berg, M.; Cheong, O.; Devillers, O .; van Kreveld, M.; Teillaud, M. (1998), „Výpočet maximálního překrytí dvou konvexních polygonů pod překlady“, Teorie výpočetních systémů, 31 (5): 613–628, doi:10.1007 / PL00005845, PAN 1640323

externí odkazy

Míra centrální symetrie, Tanya Khovanova Matematický blog, 2. září 2012

[grunbaum-1] A ^b ^C Grünbaum, Branko (1963), "Measures of symetry for convex sets", in Klee, Victor L. (vyd.), KonvexnostSborník sympozií z čisté matematiky, 7„Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, s. 233–270, PAN 0156259

[makaev-2] Makeev, V. V. (2007), „Some extremal problems for vector bundles“, Matematický deník v Petrohradě, 19 (2): 131–155, doi:10.1090 / S1061-0022-08-00998-9, PAN 2333901

[finch-3] Finch, Steven R. (2003), „8.10 Konstanty trojúhelníku Reuleaux“ (PDF), Matematické konstanty, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, pp.513–514, ISBN 978-0-521-81805-6.

[bcdkt-4] Berg, M.; Cheong, O.; Devillers, O .; van Kreveld, M.; Teillaud, M. (1998), „Výpočet maximálního překrytí dvou konvexních polygonů pod překlady“, Teorie výpočetních systémů, 31 (5): 613–628, doi:10.1007 / PL00005845, PAN 1640323

[1]

[2]

[3]

[4]