Komlós – Major – Tusnády aproximace - Komlós–Major–Tusnády approximation

v teorie pravděpodobnosti, Komlós – Major – Tusnády aproximace (také známý jako Aproximace KMT, Vkládání KMT, nebo Maďarské vkládání) je aproximací empirický proces podle a Gaussův proces postavena na stejném pravděpodobnostní prostor. Je pojmenována podle maďarských matematiků János Komlós, Gábor Tusnády, a Péter Major.

Teorie

Nechat ${ displaystyle U_ {1}, U_ {2}, ldots}$ být nezávislý jednotný (0,1) náhodné proměnné. Definujte uniformu empirická distribuční funkce tak jako

${ displaystyle F_ {U, n} (t) = { frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} mathbf {1} _ {U_ {i} leq t} , quad t v [0,1].}$

Definujte uniformu empirický proces tak jako

${ displaystyle alpha _ {U, n} (t) = { sqrt {n}} (F_ {U, n} (t) -t), quad t v [0,1].}$

The Donskerova věta (1952) to ukazuje ${ displaystyle alpha _ {U, n} (t)}$ sbližuje v právu do a Brownův most ${ displaystyle B (t).}$ Komlós, Major a Tusnády stanovili ostrou hranici rychlosti této slabé konvergence.

Teorém (KMT, 1975) Na vhodné pravděpodobnostní prostor pro nezávislou uniformu (0,1) r.v. ${ displaystyle U_ {1}, U_ {2} ldots}$ empirický proces ${ displaystyle { alpha _ {U, n} (t), 0 leq t leq 1 }}$ lze aproximovat posloupností Brownových mostů ${ displaystyle {B_ {n} (t), 0 leq t leq 1 }}$ takhle

${ displaystyle P left { sup _ {0 leq t leq 1} | alpha _ {U, n} (t) -B_ {n} (t) |> { frac {1} { sqrt {n}}} (a log n + x) right } leq be ^ {- cx}}$

pro všechna kladná celá čísla n a všechno ${ displaystyle x> 0}$, kde A, b, a C jsou kladné konstanty.

Důsledek

Důsledkem této věty je, že pro každou skutečnou iid r.v. ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ldots,}$ s cdf ${ displaystyle F (t),}$ je možné zkonstruovat prostor pravděpodobnosti, pokud je nezávislý^{[je zapotřebí objasnění ]} sekvence empirických procesů ${ displaystyle alpha _ {X, n} (t) = { sqrt {n}} (F_ {X, n} (t) -F (t))}$ a Gaussovské procesy ${ displaystyle G_ {F, n} (t) = B_ {n} (F (t))}$ existují takové

${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac { sqrt {n}} { ln n}} { big |} alpha _ {X, n} -G_ {F, n} { big |} _ { infty} < infty,}$     téměř jistě.

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopad 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Reference

• Komlos, J., Major, P. a Tusnady, G. (1975) Aproximace částečných součtů nezávislých rv a vzorku df. Já, Wahrsch verw Gebiete / Teorie pravděpodobnosti a související pole, 32, 111–131. doi: 10.1007 / BF00533093
• Komlos, J., Major, P. a Tusnady, G. (1976) Aproximace částečných součtů nezávislých rv a vzorku df. II, Wahrsch verw Gebiete / Teorie pravděpodobnosti a související pole, 34, 33–58. doi:10.1007 / BF00532688